Les Inter-dits de Xultún

La revue Science (Vol. 336 no. 6082 pp. 714-717) vient de publier « Ancient Maya Astronomical Tables from Xultun, Guatemala », un compte-rendu en quatre pages de la découverte de tables astronomiques mayas qui présentent deux particularités. Celle de leur support puisqu’elles furent écrites sur les murs d’une petite pièce et non sur la feuille d’un codex, et leur relative ancienneté puisqu’elles proviennent d’un complexe de ruines du IXe siècle. En voici le résumé à l’adresse http:// www.sciencemag.org/content/336/6082/714:

Abstract. Maya astronomical tables are recognized in bark-paper books from the Late Postclassic period (1300 to 1521 C.E.), but Classic period (200 to 900 C.E.) precursors have not been found. In 2011, a small painted room was excavated at the extensive ancient Maya ruins of Xultun, Guatemala, dating to the early 9th century C.E. The walls and ceiling of the room are painted with several human figures. Two walls also display a large number of delicate black, red, and incised hieroglyphs. Many of these hieroglyphs are calendrical in nature and relate astronomical computations, including at least two tables concerning the movement of the Moon, and perhaps Mars and Venus. These apparently represent early astronomical tables and may shed light on the later books.

Pour l’essentiel, l’argumentation repose sur les inscriptions numériques découvertes par William A. Saturno et ses collègues : David Stuart, Anthony F. Aveni et Franco Rossi. Les moins détériorées, photographiées et dessinées par Stuart, se présentent de la manière suivante1 :

La photo donne à voir quatre colonnes de signes dont les plus simples sont formés de points et de barres : les barres du haut de la première ligne sont verticales, et toutes les autres sont horizontales. Sans en être des sosies, ces 4 colonnes sont parfaitement semblables aux tables de nombres, notamment aux tables de multiples d’un entier, présentes par dizaines dans les codex, et surtout celui de Dresde justement célèbre pour ses tables vénusiennes et d’éclipses. D’où notre principale conjecture :

Déchiffrer, lire et faire parler2 ces 4 colonnes jusqu’à livrer leur vouloir dire sont des procédures qui pourraient être ouvertes par les clefs patiemment inventées et perfectionnées depuis le XIXe siècle par les savants qui réussirent à décrypter leurs semblables, les colonnes de chiffres du codex de Dresde.

C’est la position adoptée par les auteurs du rapport :

The columns contain […] numerals,  and they resemble calendrical and astronomical tables in the Dresden Codex, an ancient Maya hieroglyphic  composed centuries later […].

Given their similarity to numerical records in the Dresden Codex and other hieroglyphic manuscripts, we take these numbers to represent records of elapsed days using periods of the Long Count calendar [Il s’agit des multiples à trois chiffres de la demi-année lunaire, présentés plus loin]. The upper number would therefore represent multiples of the 360-day “tun” unit, the middle  number multiples of 20-day units known as the “winal,” and the final number would represent units of single days, known as “k’in.” (p. 715).

Dans le cadre de la conjecture que je viens d’expliciter, on peut défendre la thèse que les constellations de points et de barres du codex de Dresde mettent en signe des groupes de nombres qui se révèlent liés par diverses relations (par exemple être multiples/diviseurs les uns des autres, ou de nombres entiers culturellement distingués, comme par exemple la durée de l’année vague solaire ou de la ‘semaine’ divinatoire) et qui renvoient toujours3 à des durées temporelles, elles-mêmes associées à des dates (surtout de la forme αX des dates du tzolkin). D’où la première conclusion : La photo montre quatre nombres écrits en numération vigésimale de position avec zéro4.

Sans abus de langage, ces nombres peuvent être qualifiés de grands nombres, non parce qu’ils dépasseraient une limite donnée a priori, mais parce qu’ils ont chacun 5 chiffres significatifs : du coup, ils permettent de distinguer/définir/numéroter environ5 trois millions d’éléments, de dater 3 millions de jours en dates CL.

Les grands nombres mayas découverts jusqu’ici, y compris ceux des stèles 1 et 5 de Cobá célèbres pour aligner plus de 20 chiffres significatifs, se sont tous révélés représenter des durées exprimées en nombre d’unités de temps : elles sont conceptualisées en logique polynomiale (en béotien : on compte par paquets et paquets de paquets….), et mises en signe soit dans la forme Σ (ci Pi) des monuments laquelle présente la particularité que tous les éléments de redondance ( périodes ou zéros) sont notés. Soit dans la forme (ci) des codex (sans aucun élément de redondance, mais en jouant parfois sur la couleur pour différencier par exemple une date d’une durée). Chez les Mayas, avoir 5 chiffres significatifs, c’est avoir le format des dates en Compte Long6 que l’on trouve par milliers dans les Séries Initiales. Rappelons que c’est seulement sur la stèle 1 de Pestac (Chiapas, Mexique, VIIe siècle) et massivement dans les pages des codex que ces nombres sont écrits sans la redondance et l’emphase que l’on observe sur les monuments publics; une redondance qui consiste à inscrire aussi les signes de toutes les unités de période, écrire 13-baktun 0-katun 0-tun; 0-uinal 0-kin et non  13.0.0.;0.0.. Les plus anciens Comptes Longs (Olmèques ou mayas) ne présentaient pas non plus cette redondance qui, pour cette raison, semble bien être une invention maya et marquer un retour réflexif et systématisant sur l’usage des unités de mesure de temps. En dehors des CL à cinq chiffres, les scribes ont écrit beaucoup de Nombres de distance, de longueurs diverses ; ceux qui ont 5 chiffres7 pourraient être confondus avec les dates CL. Tous ces nombres sont des durées, dont certaines (les CL) peuvent facilement aussi être considérées du point de vue ordinal c’est-à-dire comme des dates. On sait que les Mayas furent des champions de la distinction des deux faces du nombre, sa face numérique et sa face ordinale, et qu’ils savaient parfaitement bien transformer une date CL en date CR, et vice-versa.

Dans la mesure où tous les grands nombres mayas actuellement déchiffrés représentent des durées (et non pas, par exemple, des quantités de tributs), la valeur des positions dans l’écriture (ci) des codex est donnée par celle du système des unités de mesure de temps en usage. Le système des scribes mayas est vigésimal et sans aucune irrégularité si l’on convient que l’unité principale de mesure du temps est l’année tun. Ce n’est pas le cas pour une majorité d’américanistes qui sont convenus que l’étalon de temps est le jour (24 h) kin ; cette convention introduit inutilement un défaut de régularité dans le système maya8 des unités de mesure de temps (1-tun = 18-uinal). De plus, elle déprécie l’année mésoaméricaine traditionnelle, laquelle comptait, partout et jusqu’à la Conquête espagnole, 18 mois de vingt jours. Bien sûr on ajoutait un complément Uayeb de 5 jours (en général chômés et consacrés aux pénitences et à la préparation des fêtes de renouvellement) pour obtenir les 365 jours de l’année vague solaire (ha’ab), mais pas mal d’auteurs signalent que ces jours ‘aciagos’ (funestes) n’étaient pas datés (ce qui n’empêche pas de les compter).

Ce que l’on sait par le codex de Dresde conduit à la thèse que les 4 nombres de Xultún sont censément des nombres marquant des durées exprimées en nombre de jours. Il est peu probable qu’il s’agisse de dates CL, parce qu’une date CL est habituellement inscrite entre un GISI, glyphe introducteur de série initiale, et une date CR (suivie éventuellement d’une Série secondaire qui comprend surtout des données calendaires relatives aux phases de la Lune), et, d’autre part, parce qu’ils sont écrits sous 4 dates tzolkin dégradées et presque illisibles.

Tout ceci étant admis, les outils développés pour la lecture des codex permettent de déchiffrer chiffre à chiffre les 4 nombres de Xultún, de les lire et de les traduire en numération décimale et chiffres arabes. On obtient :

 

N1

N0

N3

N2

Transcription chiffre à chiffre 8.6.1.9.0.9 2.7.9.0.0. 17.0.1.3.0. 12.5.3.3.0.
Traduction décimale10 1 195 740 341 640 2 448 420 1 765 140

Ces nombres ne sont pas rangés dans l’ordre naturel des entiers (croissant, par exemple). Ils se terminent tous, sauf peut-être celui de la 1ère colonne, par un (ou deux) chiffre(s) zéro. Ils ne sont ni quelconques ni arrivés sur le mur de la pièce de Xultún par hasard. Un coup d’œil arithmétique le confirme : tous sont divisibles par 260 et les nombres des trois dernières colonnes sont liés par l’égalité :

N2 + 2 N0 = N3

1 765 140 + (2 x 341 640) = 2 448 420

On peut se demander à quoi jouait le scribe en écrivant de telles combinaisons de nombres. La question est difficile. Commençons par nous demander quelles sont les propriétés des nombres de Xultún, et tentons d’identifier celles qui pourraient éveiller l’intérêt d’un scribe doté des compétences de l’auteur du codex de Dresde. Le coup d’œil arithmétique nous éclaire sur la nature du travail du scribe en nous faisant voir que N0, le plus petit des quatre nombres, est divisible par un tas de valeurs intéressantes pour un astronome/astrologue maya. Voici les principaux diviseurs de 341 640 :

260 car N0 = 1314 x 260 (durée du tzolkin, almanach divinatoire)

360 car N0 =  949 x 360 (durée du tun, unité principale du système de mesure de temps)

365 car N0 =  936 x 365 (durée du ha’ab, année vague solaire)

584 car N0 =  585 x 584 (durée de l’année vague vénusienne)

780 car N0 =  438 x 780 (durée de l’année vague de Mars)

Mais on ne peut pas tout avoir : N0 n’est pas multiple des durées mayas retenues pour le calcul des éclipses (148, 177 et 178) ; il n’est pas non plus multiple du cycle des Kauil (819). Par contre, son voisin N1 (1ère colonne) l’est, et ses trois voisins sont en plus divisibles par 365 et 780. Le nombre N par exemple est multiple de 819 et aussi de 365, (584+1) et 780:

N1 = 1 195 740 = 20 x 73 x  819 = 4 x 365 x 819 = 1  533 x 780

Réalisées en s’inspirant de l’intelligence arithmétique maya encapsulée dans les pages du codex de Dresde, les expériences de pensée précédentes conduisent à la conviction que les nombres de Xultún furent calculés dans le même esprit et en poursuivant les mêmes fins dans un même domaine d’expérience. Ce qui lève un peu le voile sur la fonction de l’outil arithmétique dans le champ des pratiques de comput et de divination au service des dirigeants d’une cité maya antique. Simplifiée par 4, l’équation N1 fait mieux apercevoir que le scribe de Xultún travaillait sur quelque problème qui implique l’usage de quelque chose qui ressemble aux bêtes noires des écoliers, les PPCM et PGCD de plusieurs entiers. En l’occurrence ¼ N1 = 5 x 73 x 819 = 365 x 819 apparaît comme le PPCM des nombres 365 et 819. PPCM(819, 365) = 298 935 = 819 x 365. Leur PPCM est égal à leur produit parce que 819 et 365 sont premiers dans leur ensemble. Ce qui a une signification concrète presque immédiate : un déplacement de 298 935 jours est la plus petite de toutes les translations qui laissent inchangées la position dans l’année vague solaire et la position dans le cycle des Kauil. Par pas de 298 935 jours, le même événement (célébration de l’idole, par ex.) revient avec la même date ha’ab. Les durées11 a priori incommensurables 819 et 365 peuvent être plongées dans un multiple commun (par exemple leur produit) et fournir une nouvelle unité de compte des durées. Une nouvelle unité dont on sait qu’elles translatent les dates en laissant invariant leur composantes définies par les facteurs du multiple commun. De ce point de vue, le nombre N1 est remarquable pour un scribe maya puisqu’il rend commensurables : tzolkin, ha’ab, AZ (zodiac), AV (Vénusien), AM (Mars), Kauil12… : et pratiquement aussi le tun puisque 1 195 740 est divisible par 60.

Sur le terrain mieux balisé du codex de Dresde. un constat s’impose : dans leur immense majorité, les nombres y sont associés à des dates, et les tables de multiples y sont associées à des tableaux de dates, en général des dates αX de l’almanach divinatoire, rarement à des dates (αX, βY) du CR que l’on trouve seulement dans les pages vénusiennes de ce codex.

Dates et durées forment des chaînes d’équations « date d + durée T = date d’ ». Il en est peut-être ainsi à Xultún puisqu’il y a les traces de 4 dates tzolkin, une au-dessus de chacun des 4 nombres, mais dont on ne voit pas quelles en seraient les translatées :

Se familiariser avec la lecture des chaînes d’équations (parfois longues) des codex et des monuments fait naître et se développer l’idée que l’on est entrain d’expérimenter le plus puissant des outils du scribe-devin maya, homme à part et sur qui reposait la responsabilité de dire la divine couleur du temps, une couleur indissociablement infernale/astrale/humaine.

Je pense, en effet, que les ensembles « tables de multiples + tableaux de dates » comme ceux du Dresde sont les outils de base du devin maya, tout à la fois astrologue et astronome, comme ses collègues Mésoaméricains13. Cet outil permettait de dire le sort/destin/fortune… que recevraient ou prendraient les gens, les rois, les travaux, les alliances, les événements qui tomberaient sur telle ou telle date (ou telle ou telle phases des corps célestes). Un tel spécialiste de l’imprévisible passait son temps à dire, non pas « c’est chouette, le week-end sera plus long parce que 1er Mai tombera un lundi, », mais à déclarer le fonds de ses visions plus ou moins extatiques et appuyées sur sa connaissance du mouvement des corps célestes « ce jour serait favorable pour lancer une expédition militaire, car ce sera un lever de Vénus (une éclipse de Lune, etc.) », ou de pronostiquer « né en ce jour tzolkin sous les auspices de Muan et du maître de 13, le fils de notre roi aura un destin exceptionnel et sera une bénédiction pour le peuple qui aura de la nourriture en abondance »…

Le principe de la divination est simple et connu par le déchiffrement des dizaines et dizaines d’almanachs que contiennent les codex. Supposez pour faire simple que je dispose d’une table des multiples de 7 et que je la mette en relation avec les dates d’un calendrier des Postes. Je pourrais me déplacer dans le calendrier par pas de 7 jours sans jamais perdre le fil des jours de la semaine (qui donne, avec leur numéro, une couleur particulière au jour) : pas de changement de jour de la semaine parce que celle-ci compte invariablement 7 jours et que les bonds sont multiples de 7. Je pourrais même me déplacer par pas de n, non-multiple de 7, par exemple par pas de 13 ou 7 001 jours. Dans ce cas, les bonds conduisent à des jours qui portent des noms de semaine différents, mais le changement est facilement calculable : c’est le même que celui provoqué par le reste de la division de n par 7. Par exemple, si n = 15, son reste est 1, lequel fait passer d’un jour de la semaine au suivant : d’un dimanche à un lundi, et ainsi de suite. Avec un cycle de 819 jours c’est juste un petit peu plus compliqué sans calculatrice, mais le principe reste le même. La plus grande complexité14 du problème du devin maya ne vient pas de là, mais elle provient du fait qu’il doit se déplacer dans une forêt de cycles, des cycles de toutes natures et de toutes longueurs, enclins à se métisser et à produire de nouveaux cycles. Les plus connus sont, pêle-mêle et dans l’ordre croissant, ceux des : 4 points cardinaux, 4 couleurs, 5 jours Uayeb, 7 mers, 9 infra-mondes, 13 cieux, 20 jours du mois, 148 j (177/178) j des demi-années lunaires de 5 ou 6 lunaisons, 260 j du tzolkin, 360 j du tun ‘année de compte15a, 364 j de l’année du zodiac, 365 j du ha’ab année vague solaire, 584/585 j de l’année vague de Vénus, 780 j de l’année vague de Mars, 819 j du cycle des Kauil, 18 980 j du Calendrier Rituel, son double 37 960, 93 600 j de la ‘roue des Katun’ ainsi que ses multiples, dont le premier 1 872 000 j est supposée mesurer la durée d’une création d’humains, etc.

Parenthèse. Cette supposition est fragile : elle repose sur peu de faits : a) les mayanistes sont restés pendant des lustres sans un seul exemple de grand nombre dont le chiffre à la position des baktun ou au-delà était supérieur à 13, et b) sur la façon de noter l’origine de la chronologie maya. Du manque d’exemples de grands nombres avec des chiffres supérieurs à 13 à partir du 5ème rang, ils inféraient (à tort) que les compteurs ne pouvaient dépasser le chiffre 13 dans les positions commençant au baktun. Par ailleurs, les mayanistes ont été amené à dater le jour origine de la chronologie maya sous la forme

0.0.0.0.0. 4 Ahau 8 Cumku

et non pas comme les Mayas eux-mêmes qui écrivaient

13.0.0.0.0. 4 Ahau 8 Cumku

sans doute parce les programmes informatiques de traduction des CL en CR ne donnent pas, pour le CL 13.0.0.0.0. , la réponse attendue et attestée, à savoir

4 Ahau 8 Cumku

mais la réponse 4 Ahau 3 Kankin. C’est le plus fort argument pour émettre et soutenir l’hypothèse que les scribes faisaient usage d’un cycle (dont on ne sait pratiquement rien d’autre) de durée 13-baktun 0-katun 0-tun; 0-uinal 0-kin = 5 200 tun = 1 872 000 kin ≈ 5 129 ha’ab ≈ 5 125 années juliennes. Si l’on décide d’y voir un cycle créationnel, cela veut dire que ce qui fut créé le fut à la fin d’un cycle de 13-baktun (et donc aussi au début d’un autre). De là, à en faire la durée d’une humanité (d’une création) dont nous ferions partie et à prophétiser qu’à la fin du cycle, ce sera la Fin du monde…, il y a un fossé que personnellement je ne franchirai pas. Fin de parenthèse.

Voici, en page 24 du codex de Dresde, un tel outil; il occupe une demi-page. Il croise (associe) une table des multiples de 2 920 (c’est-à-dire des multiples de 5 x 584, où 584 est la valeur de l’année vague vénusienne adoptée par les Mayas) avec un tableau de dates tzolkin toutes de la forme α Ahau où le rang α prend toutes les valeurs possibles de α = 1 jusqu’à α = 13 :

Saluons au passage la maîtrise et l’économie de la mise en page, l’art de la calligraphie et l’usage des couleurs. Comment dégager et faire fonctionner l’outil enfoui dans les profondeurs de cette page 24 ?

Partons par exemple du 9 Ahau (en bas à droite) et effectuons un déplacement de 2 920 jours (8.2.0.) ; la date atteinte 9 Ahau est écrite à gauche de la date de départ 9 Ahau ; ce que le calcul permet de vérifier : 2 920 = 8 (modulo 13) et 2 920 = 0 (modulo 20) et donc 9 Ahau + 2 920 = 4 Ahau. Pour la même raison un autre saut de 2 920 jours fait parvenir au 12 Ahau juste à gauche de 4 Ahau puisque 4 Ahau + 2 920 = 12 Ahau. Et encore un pour arriver à 7 Ahau. Avec de la patience, on finira par arriver à une date de Nouvel an de Vénus, une date convenue être 1 Ahau, un jour où Vénus pourrait être supposée débordante d’énergie (favorable/défavorable ?).

La page 24 contient un fait encore plus étonnant.

Le quatrième (et avant-dernier) étage de son aile droite est habité par quatre intrus. Quatre nombres qui ne sont pas multiples de 2 920 et qui ne devraient pas se trouver au sein d’une table des multiples de cet entier. Ces nombres sont tous divisibles par 260, ce que confirme le fait que la date tzolkin qui leur est associée est devenue invariante et reste fixée sur le 1 Ahau. Le scribe a placé les quatre intrus dans l’ordre croissant (écriture/lecture de droite à gauche, en partant du bas vers le haut) :

1.5.14.4.0. = X4      9.11.7.0. = X3           4.12.8.0. = X2         1.5.5.0. = X1

185 120 = X4            68 900. = X3              33 280 = X2               9 100= X1

 Que viennent faire ces nombres dans une table des multiples de l’année Vénusienne (584) ? Les savants ont montré qu’ils peuvent servir à corriger l’inévitable accumulation des retards de l’année vague (vénusienne). Ce qui est un résultat remarquable et la preuve que sans horloge et sans lunette astronomique un savant mésoaméricain était capable (par accumulation d’observations) de découvrir qu’une année vague (définie par un nombre entier de jours) n’est jamais parfaitement en phase avec le mouvement du corps céleste qu’elle simule, et que le décalage qui s’accumule peut/doit être corrigé. Les inventeurs de Xultún, Saturno et alt.,  ont envisagé et répondu par la négative à l’éventualité d’un même usage des quatre nombres Ni ou des nombres liés à la Lune dont nous parlerons plus loin :

However, unlike the Dresden tables, the Xultun array does not seem corrected to correlate with precise eclipse phenomena. It would seem rather to be a simpler tally spanning a period of roughly 13 years. This end point is suggestive, because years and other time periods grouped in thirteens were of deep cosmological significance to the ancient Maya, forming the foundation of their “Grand Long Count” calendar.

Mais il y a beaucoup plus étonnant encore. Une combinaison simple des quatre nombres produit une valeur qui ne peut pas passer inaperçue aux yeux d’un contemporain amateur d’astronomie. Exprimons les durées en nombre de tzolkin (il suffit de diviser par 260), et formons la combinaison X1 + X2 + 2(X3 + X4). Il vient :

185 120 = 712 x 260 = X4 68 900 = 265 x 260 = X3 33 280 = 128 x 260 =  X2 9 100 = 35 x 260 = X1

X1 + X2 + 2(X3 + X4) = 260 x (712 + 265 + 128 + 35) = 2 117 tzolkin.

Comme le montre l’ égalité 2 117 x 260 = 1 508 x 365 ou 2117 tzolkin = 1 508 ha’ab, la combinaison des quatre intrus est un nombre entier d’années vagues solaires ha’ab. Présente-t-il un intérêt particulier sachant que peu de communautés humaines ont la possibilité de disposer d’archives d’observations se déroulant sur plus d’un millénaire et demi ?

L’amateur d’astronomie d’aujourd’hui connaît avec plus ou moins de décimales la durée de l’année solaire (tropique, sidérale ou autre) et cela lui permet de savoir que la meilleure approximation entière de l’année que l’on subit est donnée par la quasi-égalité15 b

1 507 x 365,242 190 517… ≈ 1 508 x 365

« 1 507 années tropiques font 1 508 années vagues »

un maya dirait plutôt « 1 507 années du Soleil font 1 508 ha’ab ou 2 117 tzolkin ».

L’idée est féconde. Il suffit de multiplier par 2 pour faire entrer Vénus dans la danse (AV = 584),

1 507 x 365,242… ≈   2 117 tzolkin = 1 508 ha’ab = (942,5 AV)

3 014 x 365,242… ≈   4 234 tzolkin = 3 016 ha’ab =  1 885  AV

et encore par 3 pour y inclure Mars (AM = 780) :

9042 x 365,242…≈12702 tzolkin=9048 ha’ab=5655  AV=4234 AM

Qu’il en fut conscient ou non, le scribe qui a placé les quatre intrus dans la table des multiples de 5 années vagues vénusiennes avait découvert un nombre entier permettant de suivre le retour d’un événement dans une quantité de calendriers et de cycles comprenant au moins la date tzolkin (almanach divinatoire), la date ha’ab, la phase de Vénus, la position de Mars. Étonnant, non?

En tous cas, il n’est plus permis de dire que les quatre nombres Xi de la page 24 du codex de Dresde sont des intrus; ce sont des nombres distingués, d’abord parce qu’ils sont associés aux pas de translation qui laissent invariante la date 1 Ahau, ensuite parce qu’ils permettent de corriger l’obsolescence du calendrier vénusien, enfin parce que leur combinaison pourrait (si elle ne l’a pas fait) déboucher sur une approximation de la durée de l’année tropique.

Le même genre d’expérience de pensée montre que le double de la combinaison C = N2 + 2 N0 = N3 de Xultún, soit 2 C = 4 896 840 (pour un scribe, c’est 258 CR, Calendar Round) est multiple tout à la fois du tzolkin, du ha’ab, et des années vagues de Vénus et de Mars. Les quatre entiers du mur de Xultún pourraient donc être déclarés sosies des quatre Xi du Dresde car, comme eux, ils ne forment pas une table de multiples, mais ils permettent de conserver invariantes tout à la fois les dates tzolkin, ha’ab et des phases de Vénus et Mars.

Ce résultat est remarquable, mais il ne permet pas d’écrire que les quatre nombres de Xultún constituent, en eux-mêmes, une table astronomique, la plus ancienne jamais découverte, ou, plus exactement, jamais découverte sur un mur15c.

Le rapport en contient d’autres. Voici par exemple la découverte de nombres liés aux lunaisons.

Autre exemple : Les demi-années lunaires

Les connaissances tirées du codex de Dresde éclairent de la même lumière un autre groupe de données numériques couchées sur les murs de Xultún. Il s’agit d’une vingtaine ( ?) de nombres, très dégradés, disposés en colonnes et  qui tous semblent avoir trois chiffres significatifs et être placés sous un signe de divinité renvoyant à la Lune et évoquant celle en figure entière accrochée à la bande céleste dans les pages du Dresde que nous montrerons ci-dessous :

Visible atop at least five of the columns are individual “Moon” glyphs combined with facial profiles. Enough detail is visible on two of these glyphs to see that they are deities

Ces nombres forment la Structure 10K-2, photographiée par Saturno, et dessinée par Stuart :Pour déchiffrer et interpréter ces données, les auteurs du rapport font appel, à juste titre, à la similitude avec les huit pages (30/51 à 37/58) du Dresdensis qui constituent le chapitre dit des ‘pages éclipses’. Ces huit pages se lisent comme un almanach délivrant des dates tzolkin qui se déduisent les unes des autres par translation. Sous chaque date, le scribe a noté le pas de la translation, et au-dessus, il a enregistré le total des pas parcourus. Le pas de la plupart des translations est de 177 jours (8.17.), sinon, on a 148 jours (7.8.). Le compteur s’arrête à 11 958 (1.13.3.18.), ce qui équivaut à 405 lunaisons. Voici un extrait de ces pages qui montre que le scribe a organisé le tableau de dates tzolkin en sections (dix, au total) très nettement délimitées par une figure (dix, au total) accrochée ou pendue à une bande céleste, sur l’extrait ci-dessous : un signe d’éclipse à gauche et la jeune déesse de la Lune à droite

Le pas de translation est la durée qui sépare deux dates tzolkin voisines. Fait rarement rappelé dans la littérature américaniste, la valeur du pas de translation peut s’obtenir de deux façons : a) soit en le lisant sous la date tzolkin (à condition qu’il ne soit pas effacé) soit b) en faisant la différence des valeurs adjacentes dans le totalisateur. En principe ces deux manières d’opérer donnent le même résultat, mais ce n’est pas vraiment le cas. Outre les pas 177 et 148 explicitement écrits sous les dates (je n’ai trouvé qu’un 178, en p. 36a/57a), le calcul de la différence donne le pas de 178 jours (8.18.) et quelques autres valeurs qui peuvent ne pas du tout ressembler à des demi-années lunaires même si quelques unes peuvent facilement trouver explication (par exemple deux différences calculées en page 33c donnent un 97 suivi d’un 228 ; on peut penser que le scribe a ajouté d’abord 8.17. amputé de 4 vingtaines (pour quelque raison inconnue) et restituer ces 4 vingtaines à l’étape suivant, l’ajout d’une demi-année déficitaire 7.8. qui apparait cette fois avec la surcharge des 4 vingtaines : au final, on a bien progressé de deux semestres lunaires).

Malgré les différences qui restent inexpliquées et assez importantes, les américanistes considèrent que la suite des nombres à trois chiffres générée par le totalisateur est une progression arithmétique dont la raison n’est pas un entier au sens strict mais plutôt une durée-étalon, en l’occurrence la demi-année (ou le semestre) lunaire maya. C’est d’ailleurs ce qui se passe en calendrier grégorien où se déplacer de mois en mois c’est se déplacer en moyenne de 30,5 jours, mais en réalité par pas de 31, 30, 29 ou 28 jours. Dans ces conditions, les demi-années lunaires des pages éclipses du Dresde sont du type 177, 178 ou 148, chacun étant distingué et défini par une combinaison particulière de lunaisons de 29 et de 30 jours. Le plus fréquent est le type 177 qui combine 3 lunaisons de 29 jours et 3 lunaisons de 30 jours : 177 = [(3 x 30) + (3 x 29)]. Le type 178 favorise les lunaisons de 30 jours puisque : 178 = [(4 x 30) + (2 x 29)], enfin le moins fréquent est le type 148 ou déficitaire qui regroupe 5 lunaisons : 148 = [(3 x 30) + (2 x 29)]. On peut ici observer que les séries secondaires comportaient souvent à l’époque classique des données lunaires codées par ce que l’on appelle les glyphes D, C, B (X), et A. Le glyphe C attribue un numéro (variant de 0 à 5) et parfois un nom propre (qui variait en fonction du numéro) à la lunaison et plaçait tout son semestre sous le patronage de l’une des trois entités divines recensées par les épigraphistes : la déesse de la Lune, le dieu de la mort ou le jaguar de l’infra-monde. Ce qui donne un peu de chair historique aux déductions extraites du codex et posant qu’il y aurait trois types de demi-années lunaires placées sous les auspices de trois entités divines différentes et formées de 5 ou 6 lunaisons, elles-mêmes numérotées et parfois dotées d’un glyphe onomastique.

Exemple de lecture. La première date, 11 Cib a été atteinte au bout de 17-[tun] ; 14-[uinal] 8-[kin] = 6 408 jours, de là, une translation de 8-[uinal] 17-[kin] = 177 jours conduit au 6 Ben, et le totalisateur (incrémenté de 177 jours) passe à 18-[tun] ; 5-[uinal] 5-[kin] = 6 585 jours. Et ainsi de suite.

Dans cette convention de lecture, le Dresde applique des translations d’amplitude un semestre lunaire sur un tableau de dates tzolkin (sur 3 lignes et 69 colonnes) ; et ceci récursivement jusqu’à totaliser trois fois 405 lunaisons. Repartons pour Xultún.

Les inventeurs du site posent à juste titre que les nombres à trois chiffres pourraient renvoyer, comme ceux du codex de Dresde, à des semestres lunaires : « The presence of these lunar deity heads suggests that the number columns also have a lunar meaning ».

Pour tester cette interprétation, ils calculent la différence des nombres successifs, trouvent un écart de 177 et en concluent que c’est un semestre lunaire : « The span between the final two columns is a lunar “semester” of 178 days. […] The numbers 177 and 178 are important in ancient Maya astronomy. The eclipse tables on pages 51 to 58 of the Dresden Codex are based on these same intervals » (p. 715). Ce résultat est ensuite testé sur la deuxième différence, celle de l’avant-dernier nombre et de son prédécesseur, et ainsi de suite. Avec, un semestre lunaire de 178 jours, le calcul donne les valeurs possibles suivantes pour les nombres effacés (en bleu, ceux qui sont effectivement lisibles sur le mur) :

La publication du rapport de fouille par la revue Science a déclenché ou entretenu une floraison de titres racoleurs nourrissant et se nourrissant de la fièvre causée par le plus grand canular que j’ai jamais connu, celui de la fin du monde soi-disant prophétisée par les astronomes mayas. En voici deux pris au piège de la toile : « 2012: la fin du monde est (encore) reportée16 » et « Regardez-2012, l’apocalypse n’aura pas lieu17 ».

Comme nous venons de le voir, les écrits mayas de Dresde et de Xultún contiennent des trésors de comput calendaire, mais pas le moindre début de trace d’une quelconque allusion à la fin du monde, ce qui n’interdit pas de parler de déluges et d’autres catastrophes aussi ‘naturelles’ pour les Mayas que pour nous. Ne nous laissons pas emporter par la fièvre médiatique, ni par l’exagération (quatre, ou vingt, nombres ne font, à eux seuls, ni une table astronomique, ni les éphémérides des objets célestes observés dans la communauté, pas même un calendrier).

Les égalités couchées sur les pages du codex de Dresde ou peintes sur les murs de Xultún permettent d’en sortir des pépites, comme cette excellente approximation de l’année (tropique ou sidérale) donnée par le calcul sur les données de la page 24 du Dresde :

(1508 x 365) / 1507 = 365, 2422030524.

ou les nombreux diviseurs des nombres de Xultún.

Je laisse au lecteur la responsabilité de répondre oui ou non à la question « doit-on en déduire que les Mayas qui rédigèrent le codex de Dresde ou ceux qui peignirent les murs de Xultún avaient conscience d’avoir établi avec une grande précision la durée de l’année tropique et celle des révolutions synodiques de Mars et Vénus ? » et je l’invite à ne pas tomber dans le piège médiatique  appâté par le miroir des visions de fin du monde.

Donnons la parole aux spécialistes qui s’expriment sur la toile comme par exemple  :

Murals discovered at the Classic Period site of Xultún Guatemala are the earliest representations yet discovered of the astronomical tables used by the Maya to track the movements of Venus and the Moon. Such tables are best known from the Dresden Codex, a rare surviving book written in the 11th or 12th century by the ancient Maya. The Xultún calendars were first drawn in the late 8th century AD, at least 400 years earlier than the Dresden codex (http://archaeology.about.com/od/mayaarchaeology/ss/Classic-Maya-Astronomy-At-Xultun.htm)

non sans apporter un petit bémol à propos de la date plus reculée des inscriptions de Xultún par rapport aux tables et tableaux du codex de Dresde. D’abord, l’exemplaire dont dispose la bibliothèque de Dresde est vraisemblablement une copie de copie de copie d’un codex beaucoup plus ancien, mais cela on ne peut pas le démontrer (voir le second bémol). Ensuite, parce que les peintures murales résistent beaucoup mieux aux outrages du temps (surtout sous les tropiques) que les codex de papier d’écorce ! Et cette réalité toute bête pourrait bien expliquer pourquoi on ne trouve pas de codex aussi vieux, voire même plus vieux, que les murs de Xultún. D’autant qu’il y a des preuves archéologiques qui montrent que les techniques pour fabriquer les codex, pour les peindre, etc. sont ancestrales (je ne précise pas, car il y a des spécialistes pour le faire), et que l’on a retrouvé des tombes de scribes enterrés avec leur codex… dont il ne reste qu’un tas de poussière à côté des outils qui servirent à les peindre (encrier, par exemple) et qui attestent de l’identité du défunt.

Notes

[1] L’image qui circule sur la toile semble superposer la photo et le dessin.

[2] ‘Lire et faire parler un texte. Par qui et comment les pages 24 à 29 du Codex de Dresde peuvent-elles être traduites ?’ en ligne à l’adresse http://celia.cnrs.fr/FichExt/Am/A_23_08.htm

[3] Il y a bien sûr d’autres emplois du nombre, par ex. pour donner l’âge d’un prince, le nombre de ses prisonniers ou des ses enfants, voire le nombre des cadeaux ou de tributs. Mais ces emplois sont beaucoup plus rares, et les nombres engagés sont petits ou ronds et ne forment pas des groupes de nombres liés par des relations numériquement pertinentes.

[4] Pour Jean-Michel Hoppan (communication personnelle) « la graphie du zéro est très intéressante, comme si c’était une forme de transition entre la ‘fleur’ du Classique et la ‘coquille/lame’ du Postclassique […], comme une ‘fleur’ dont les pétales seraient tombés et dont il ne resterait que le pistil ». Une fois de plus, le signe du zéro (cardinal) renvoie à l’idée de fin, d’accomplissement, de mort (et donc de renaissance)…

[5]  3 199 999 en numération strictement vigésimale ; 2 879 999 en numération du CL (et coefficient des uinal bridé à 17.).

[6] Dater en Compte Long, c’est donner le numéro du jour atteint en comptant – en suivant ou en remontant le temps – les jours à partir d’une origine convenue, le jour zéro. Chez les Mayas, on part de 13.0.0.;0.0. origine que la concordance GMT fait correspondre au 12/08/-3113 (grégorien proleptique, et constante 584 284). Les scribes pouvaient préciser le sens du déplacement car ils disposaient des glyphes Indicateur de Date Antérieure/Postérieure qui jouent le rôle de nos signes +/–. On peut dire que le CL est infini dénombrable, isomorphe à l’ensemble N des entiers ou à l’ensemble Z des entiers relatifs. Mais l’était-il, en acte ou en puissance, pour le scribe maya de l’époque classique ? Les CL à plus de vingt chiffres des stèles 1 et 5 de Cobá donnent un début de réponse : certains scribes ont cherché, comme Archimède (dans l’Arénaire) ou Chuquet (dans la Tripartie), à étendre la capacité de leur numération vigésimale.

[7] Bien redondants, les signes de période sont presque toujours inscrits dans l’écriture des nombres qui s’affichent sur les monuments. En général et sur les monuments où ils sont exposés aux regards du public, les monômes (formés par un signe de période et son coefficient, même dans le cas où il est nul) sont placés soit dans l’ordre décroissant des unités de temps (cas habituel des CL) soit dans l’ordre croissant des mêmes unités (cas des Nombres de distance). Dans le codex de Dresde, chaque fois qu’ils forment un groupe de nombres (par exemple une table de multiples), les scribes ont pour habitus: a) de ne pas écrire les unités, et b) de placer les chiffres dans l’ordre décroissant des unités (non inscrites) qu’ils déterminent, ils suivent l’ordre attesté sur les monuments par les CL et non par les Nombres de distance. Le seul ( ?) nombre du Dresde écrit avec ses unités, 15katun 9-tun 1-uinal 3-kin (p. 40/61) suit l’ordre décroissant des CL. Dans la conjecture exprimée, les cinq chiffres des 4 nombres de Xultun doivent être supposés écrits dans l’ordre décroissant des unités.

[8] Selon que l’unité principale des mesures de temps est convenue être le kin ‘jour’ ou le tun ‘année de compte’, les grands nombres mayas de la forme (ci) des codex seront dits écrits en numération de position avec zéro (le nombre est coupé en une partie principale comptée en tun, et une partie complémentaire comptée en kin) ou en numération de disposition avec zéro (le nombre n’est pas scindé, mais le système n’est plus strictement vigésimal à cause de l’équation 1-tun = 18-uinal).

[9] Le dernier chiffre pourrait ne pas être 0. (on pourrait lire par ex. 19. ou 14.

[10]Ce sont les valeurs obtenues par les auteurs de l’article de Science. Ce qui confirme la lecture 8.6.1.9.0. en 1ère colonne.

[11] Il y a des résultats simples connus depuis plus longtemps : 73 tzolkin = 52 ha’ab ou 8 ha’ab = 5 AV (Vénus) que l’on trouve par exemple sous la forme 65 AV font 104 AS (année solaire = ha’ab) dans le codex de Dresde.

[12] 1 195 740 = 4 599 x 260 = 3 285 x 364 = 3 276 x 365 =2 044 x 585 = 4 599 x 819. N2 et N3 sont divisibles par 260, 365 et 780 (mais ni par 584, ni par 819).

[13] Les dizaines d’almanachs du codex de Dresde le prouvent, tout comme les pages du codex Borbonicus des Aztèques.

[14] C’est pourquoi je n’hésite pas à qualifier de théorèmeMayan Theorem of the Soothsayer – la découverte (sans doute maya ?) du cycle des Porteurs d’année qui donne un moyen effectif de (pré)dire la date tzolkin (en calendrier divinatoire) de tous les Nouvel ans de l’année vague solaire et, plus généralement, de n’importe quel jour de l’année vague solaire.

[15a] Le tun initialise la suite ouverte de ses multiples vigésimaux, dont une vedette médiatique le fameux 260-tun = 13-baktun censé représenter la durée d’une création d’êtres humains et conduire à la fin du monde de décembre 2012 –

[15 b] Pour plus de détails : Cauty, A., « 2003, ‘Elzbieta Siarkiewicz, ‘The Solar Year and the Dresden Codex’, Literatures Journal. A Review of  American Indian Texts and Studies, vol. 17.2, Penn State Mc Deesport, p. 136-159 », Amerindia, n° 28, Paris : Association d’Ethnolinguistique Amérindienne, p.275-286.

[15c] À fréquenter les mille scènes d’intérieur représentées en couleur sur la céramique maya, on apprend et on finit par savoir a) que les Mayas avaient, dès le Classique, des murs peints et décorés, et b) qu’ils exploitaient pour ce faire les ressources de la calligraphie tant des signes de  l’écriture de la langue que des signes de l’écriture des nombres. On pouvait donc conjecturer et admettre qu’il était habituel, dès l’époque classique, d’écrire sur les murs, vraisemblablement pour un tas de motifs encore à étudier. La découverte de Xultún apporte la preuve que les figures, les textes et les nombres qui décorent les murs des scènes d’intérieur ne relèvent pas seulement de l’imagination créative du peintre/écrivain, calculateur ou devin, mais qu’elles sont aussi de l’ordre de la ‘photographie’ des lieux tels que l’artiste les voyait et les re-présentait. Autrement dit, et si l’on me permet de jouer sur l’orthographe, les choses que montrent les murs sur les vases (par ex. de la collection Justin Kerr) ne sont pas seulement des Fantasmes, venus des profondeurs de l’inconscient créatif mésoaméricain, mais aussi des PHantasmes de ce que la mémoire de ceux qui les peignirent avaient vu, traité et engrangé.

[16] http://www.sciencepresse.qc.ca/actualite/2012/05/14/2012-fin-monde-encore-reportee

[17] http://www.lepoint.fr/science/regardez-2012-l-apocalypse-n-aura-pas-lieu-14-05-2012-1461418_25.php

 

 

8 Cumku

André

Association d'Ethnolinguistique Amérindienne Professeur d'épistémologie et histoire des sciences

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13.0.0.;0.0. 4 Ahau 8 Cumku : date origine de la chronologie maya

Échanges (avril 2012) entre A. Cauty et J.-M. Hoppan à propos de « 13.0.0.;0.0. 4 Ahau 8 Cumku«  et « 9.1.0.;0.0. 6 Ahau 13 Yaxkin« , deux séries initiales, SI, de la stèle C de Quiriguá (Izabal, Guatemala)

JMH. En attaché est ma traduction du texte de la Stèle C de Quiriguá, le glyphe que tu me demandais (en B5) est l’Indicateur de Date Postérieure. Je sais, c’est inhabituel dans une série initiale. En principe on les voit plutôt dans des nombres de distance, mais là il me semble cohérent de penser que c’est pour bien faire comprendre au lecteur que la date indiquée vient après celle de l’autre série initiale, qui parle du « jour zéro » en lui associant le compte long 13.0.0.0.0.

ACY. J’avais oublié ces fameux signes de date « postérieure/ antérieure » qui sont pourtant fort intéressants du point de vue des notations arithmétiques puisque c’est un peu l’équivalent des signes « +/- » qui indiquent comme « absence de signe/anneau des codex » que la translation se fait dans un sens ou dans l’autre et que les durées sont à ajouter ou soustraire.

Je ne comprends pas très bien ce que tu me dis. On a sur l’autre face le 13.0.0.;0.0. 4 Ahau 8 Cumku sans signe de date « postérieure/ antérieure », et sur celle dont on parle le 9.1.0.;0.0. avec signe de date postérieure et CR 6 Ahau 13 Yaxkin. On sait bien que 13.0.0.;0.0. correspond à 4 Ahau 3 Kankin (et pas 8 Cumku) et que, le plus habituellement, sur les stèles, les Comptes Longs (Séries Initiales) partent de [0.0.0.;0.0. 4 Ahau 8 Cumku] suivi de la SI sans signe de date P/A et que là on va dans le sens ‘origine – date atteinte’. Tu sembles (?) me dire que le scribe a en quelque sorte mis de manière redondante le signe de date P/A (en B5) pour montrer que le calcul ne se fait pas dans le même sens que celui qui est inscrit sur l’autre face de la stèle ; autrement dit, ce serait parce que le scribe a préalablement parlé du jour zéro (de date CR 4 Ahau 8 Cumku), qu’il l’a alors défini par la forme/variante[1] 13.0.0.;0.0. du point de départ/arrivée du cycle de 13-baktun et non par la forme équivalente 0.0.0.;0.0.

Sans signe Indicateur de Date P/A, l’écriture 13.0.0.;0.0. 4 Ahau 8 Cumku voudrait souligner qu’en se déplaçant dans un certain sens (par ex. rétro) on arrive à la date 4 Ahau 8 Cumku; au contraire, cela ayant déjà été gravé, il inverse le sens pour écrire/lire correctement les données de l’autre face et compter les 9.1.0.;0.0. dans l’autre sens pour bien tomber sur le 6 Ahau 13 Yaxkin.             

JMH. Oui c’est ça, en fait ça n’arrive que chez les mayanistes  (et pas chez les Mayas) d’associer un compte long 0.0.0;0.0 au 4 Ahau 8 Cumku : les « jours zéro » (4 Ahau 8 Cumku tout comme 4 Ahau 3 Kankin) sont obligatoirement présentés comme arrivant à l’échéance de 13 baktun (c’est d’ailleurs un des principaux arguments qui font dire que les grands cycles durent 5.200 tun) et, comme sur la Stèle C de Quiriguá on parle du dernier redémarrage (au … 8 Cumku) et non du prochain (… 3 Kankin), le 9.1.0;0.0 est bien postérieur (d’où à mon avis la présence du signe IDP…)

 ACY. Ta façon de rédiger me fait penser que c’est seulement un argument (fort, évidemment) pour dire que les Mayas ont distingué et utilisé UN cycle de treize baktun, mais parmi des dizaines d’autres cycles (on connait bien aussi la « roue des katun » décrite par Landa et qui renvoie aux notations dites Fin de katun), et que c’est un abus de langage d’en faire LE cycle (même en faisant appel aux « soleils » et autres « créations » en usage à l’époque coloniale). Dans la « forêt de cycles » exploitée par les scribes, ce n’est qu’un cycle et pas le cycle….

Conclusion. On arrive au 4 Ahau 8 Cumku en 13-baktun (distance parcourue dans un sens indiqué par l’absence d’Indicateur de Date P/A) et au 6 Ahau 13 Yaxkin en 9-baktun 1-katun (parcourue dans l’autre sens parce que cette fois il y a, en B5, la notation IDP de Date P/A). Les stèles de Cobá montrent aussi que le rayon du cercle d’un cycle distingué peut être pris arbitrairement grand (tendant vers l’infini), ce qui laisse penser que les scribes avaient subodoré l’idée que le Compte Long est un calendrier ouvert isomorphe à l’ensemble infini (dénombrable) des entiers naturels que l’on peut présenter comme une droite (cercle de rayon infini) graduée.


Deux extraits de textes plus anciens

 Extrait 1 : La date origine en notation « Fin de katun »

L’origine se note parfois (ci-contre panneau du Temple de la Croix de Palenque) en notation ‘fin de katun’ ; c’est-à-dire sous la forme :

4 Ahau 8 Cumku FIN 13ème baktun.

Extrait 2 : La durée d’une création

 4.4.4. Reste la question d’une borne à la durée d’une création. Pour autant que l’on puisse le savoir, en théologie maya, les créations ont toutes la même durée de 13baktun (1 872 000 jours[1], soit un peu plus de 5 125 années). Voyons quelques implications d’un tel choix. Loin d’être une idée d’occidental, cette durée est suggérée par la notation ‘13-baktun 0-katun 0-tun 0-uinal 0-kin 4 Ahau 8 Cumku’ de l’origine de la chronologie. On la trouve par exemple sur la face Est de la stèle C de Quiriguá (Izabal, Guatemala). Cette écriture revient à associer/identifier le CL 13.0.0.;0.0. et la date CR 4 Ahau 8 Cumku. La date 4 Ahau 8 Cumku est bien fixée pour être celle du 1er jour de la chronologie maya. A ce titre, elle serait pourtant plus logiquement associée au 1er jour, 0.0.0.;0.0., du Compte long. Ce n’est pas le cas : 4 Ahau 8 Cumku est ici associé à 13.0.0.;0.0. qui pointe un jour très éloigné (5125 ans) de la chronologie. Dans les règles bien connues du calendrier maya classique, le jour 13.0.0.;0.0. est un 4 Ahau 3 Kankin pas un *4 Ahau 8 Cumku. Par contre, 0.0.0.;0.0., est bien un 4 Ahau 8 Cumku. A strictement calculer, le scribe a préféré l’égalité fausse *13.0.0.;0.0. = 4 Ahau 8 Cumku aux égalités vraies 0.0.0.;0.0. = 4 Ahau 8 Cumku et 13.0.0.;0.0. = 4 Ahau 3 Kankin.

Du point de vue arithmétique, 0.0.0.;0.0. et 13.0.0.;0.0. partagent d’importantes propriétés dans les calculs modulo 260 (13 x 20). A savoir, la propriété du zéro[2] et la capacité de désigner un seul et même jour tzolkin. Toute translation de pas nul ou multiple de 13-baktun laisse invariantes les dates aX du tzolkin : les créations débutent[3] toujours un 4 Ahau et finissent[4] toujours un 3 Cauac. A la décharge du scribe en situation de recherche de désignation de l’origine, les CL 0.0.0.;0.0. et 13.0.0.;0.0. sont pratiquement équivalents, ce qui justifie, si cela est possible, la fausse égalité[5] gravée sur la stèle C de Quiriguá. Mais cela ne dit pas pourquoi un cycle créationnel compte treize baktun et non pas vingt comme le voudraient la rigueur arithmétique et la commodité du système des mesures. Faute d’arguments, mayas ou non, l’arithmétique ne résout pas cette inconnue. On doit donc se tourner vers le pôle religieux qui sacralise toute réalité, et qui attribue aux nombres toutes sortes de valeurs sacrées. Sans aller jusqu’à ouvrir la boîte de pandore des numérologues, on peut suggérer de résoudre l’inconnue x dans ce cadre où tous les nombres portent au sacré. Pourquoi ne pas faire x = 13 quand la tradition enseigne qu’il y a 13 cieux. Ce serait le pendant du x = 9 des Inframondes de la même tradition qui a généré le cycle des 9 signes Gi chez les Mayas et celui des seigneurs des 9 enfers chez les Aztèques. Suffisantes ou non, ce sont des raisons socioreligieuses susceptibles d’avoir motivé le choix du treize de la durée d’une création, le treize de 13-baktun et celui de 13.0.0.:0.0.[6].

4.4.5. Pour en finir avec l’hypothèse courte sans tomber dans le risque des projections ethnocentriques, il suffit de montrer que les Mayas ont inscrit la preuve qu’ils considéraient des pictun de 20-baktun, et non des pictun de 13-baktun.

La preuve se donne en 4 glyphes (C11, D11, C12 et D12) du panneau ouest du Temple des Inscriptions de Palenque : la date CR 10 Ahau 13 Yaxkin et les deux glyphes qui la suivent et disent qu’un pictun sera révolu. Il convient donc de remonter dans le passé de tout juste un pictun et de calculer la date atteinte dans deux hypothèses. Celle d’un pictun normal de 20 baktun et celle d’un pictun ‘allégé’ de 13 baktun. Le calcul dit que c’est la translation d’un pictun de 20 baktun qui fait passer du 4 Ahau 8 Cumku (origine convenue) au 10 Ahau 13 Yaxkin inscrit par le scribe[7].

Les thèses de théologie maya – le monde humain créé est un cycle de 13-baktun commencé le 0./13.0.0.:0.0. et placé sous les auspices d’un 4 Ahau – portent à penser que l’esprit religieux a voulu fermer l’alternative ‘sortir/rester sur le même cycle’ aux fins/débuts des créations, et imposer l’idée que l’on refait toujours du même, toujours le même décor et le même scénario avec juste un changement d’acteurs, un changement d’humanité. Les thèses mayas ne portent pas l’idée que le système des unités de temps cesserait d’être vigésimal au passage du baktun et se mettrait alors en progression de raison 13. A chaque fin de création, par ex. celle de la fin du 13ème baktun (21/12/2012), l’humanité repart, dans un autre corps ou un autre costume, encore et toujours pour un autre tour de création de 13.0.0.;0.0. jours.

Stèles 1 et 5 de Cobá (Quintana Roo, Mexique)

Sur ces deux stèles, le scribe a gravé une durée à plus de vingt chiffres significatifs (> 13 x 2025) conduisant à la date origine 13.0.0.;0.0. 4 Ahau 8 Cumku Cette durée a été écrite sous la forme :

? 13-X 13-X [etc.] 13-X

13-baktun 0-katun 0-tun 0-uinal 0-kin

qui commence par une longue suite de chiffres 13.

Zoom sur la série lunaire placée entre les constituants de la date CR (4 Ahau, 8 Cumku) de l’origine de la chronologie maya et qui vient à la suite du Compte long de la Série Initiale

Le fait d’ajouter un (ou plusieurs) chiffre(s) 13. à gauche d’un Compte Long exprimé en tun (ou en katun par ex. en fonction de l’indication donnée par le glyphe introducteur) ne change pas la valeur de la date tzolkin du jour désigné ; c’est un peu comme ajouter, en numération décimale de position, des zéros à gauche d’un nombre (devant ce nombre : 00123 = 123).

 


[1] Ce qui fait exactement 5 200 tun ; où 5 200 peut se lire 20 x 260 ou 13 x 202

[2] Neutre de l’addition : n + 0.0.0.0.0. = n + 13.0.0.0.0. = n (mod. 260) ; translation identique : T0.0.0.0.0(αX) = T13.0.0.0.0(αX) = αX.

[3] Un début de baktun, aux dates CL : 0.0.0.0.0., 13.0.0.0.0., 26.0.0.0.0., etc.

[4] Une fin de baktun, de date CL : 12.19.19.17.19., 25.19.19.17.19., 38.19.19.17.19., etc.

[5] L’inadéquation ne porte que sur la partie ha’ab de la date CR. La partie ha’ab fixe le jour désigné dans le calendrier de l’année des saisons, ce qui informe habituellement sur le devoir-faire agricole, social, cultuel. Il est probable que ce genre d’informations n’était pas pertinent ou n’apportait rien d’utile aux humains au jour d’une nouvelle création de l’humanité. Il n’en est pas de même pour la partie tzolkin de la date CR puisqu’elle est le support des prédictions, augures et autres prophéties.

[6] De plus, en tant que dates, 0.0.0.0.0. et 4 Ahau marquent le début d’un nème tour sur le circuit des créations. Or, sauf convention contraire explicite, le début d’un nème tour et la fin d’un (n-1)ème sont indiscernables. La fin d’une (n-1)ème  création s’écrit 13.0.0.0.0. En d’autres termes, les trois écritures définissent, comme la ligne de départ/arrivée d’un circuit, un point/instant que se partagent deux créations successives, la nème qui commence et la (n-1)ème qui finit. C’est un peu comme lorsque l’on hésite quand il faut désigner l’instant ‘minuit’ entre les désignations 24 h et 0 h. Selon le point de vue adopté, l’origine distinguée par sa date tzolkin 4 Ahau est à la fois la fin (13.0.0.0.0.) et le commencement (0.0.0.0.0.) d’une création. Le choix 24 renvoie à l’identité 1 jour = 24 heures, sans rien dire de la structure du système des unités temps. De même, le choix de 13.0.0.0.0. montre seulement qu’une création dure 13-baktun, sans rien dire de la structure du système des périodes et sans interdire de penser plus grand, et de poser des durées de 14 ou 19-pictun.

[7] 10 Ahau 13 Yaxkin 1 pictun (de 20-baktun) = 4 Ahau 8 Cumku ; tandis que 10 Ahau 13 Yaxkin1 pictun (de 13-baktun) = 4 Ahau 3 Yaxkin. De plus, sur le même panneau, se trouvent aussi des monômes à coefficient supérieur à treize, à savoir : 14-baktun (J11) et 18-pictun (F11) ; ce qui démontre que le coefficient des pictun n’est pas bridé à treize et qu’il prend ses valeurs, comme tous les multiples du tun, dans l’intervalle [0, 19].

 

 

 

André

Association d'Ethnolinguistique Amérindienne Professeur d'épistémologie et histoire des sciences

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L’année vague solaire maya selon Diego de Landa (1524-1579)

Le dominicain Diego Durán (1537-1588) a reconstruit une année aztèque dont on a vu qu’elle contenait des erreurs. À la même époque, le franciscain Diego de Landa (1524-1579) se livrait au même travail de moine-ethnologue, à ceci près qu’il a reconstruit sans aucune erreur une année vague solaire maya de 365 jours encore très proche de l’année ha’ab attestée à l’époque classique. À cette époque, les Mayas dataient les événements en donnant un certain nombre d’informations dont le noyau était le couple (CL, CR) : un Compte Long ΣciPi et une date en Calendrier Rituel de 18 890 jours datés par des expressions αXβY, où αX est une date dans la semaine divinatoire de 260 jours (tzolkin) et βY une date dans le calendrier de l’année vague solaire (ha’ab) de 365 jours[1]. À l’époque coloniale de Landa, cette façon de dater était tombée en désuétude : sauf exception , les β – parfois aussi les Y – n’étaient pas/plus notés.
Comme pour l’alphabet maya, Landa s’est efforcé de comprendre la marche des calendriers des Natifs en se documentant auprès des scribes. Malgré la qualité de ses sources, son travail était biaisé parce qu’il diabolisait le tzolkin et qu’il s’efforçait de faire entrer le ha’ab dans son propre calendrier julien[3]. Voici une synthèse de son texte montrant deux ou trois façons de rétablir les dates CR des 365 jours de l’année vague solaire maya :

Conventions du tableau. 

En gras : données effectivement présentes dans le texte de Landa, informations supplémentaires présentes dans la Relación. En Normal + gras et majuscule initiale : données renvoyant au tzolkin. En Italique + gras et majuscule initiale : données renvoyant au ha’ab. RA : rang ou place dans l’année selon que l’on énumère à partir de 0 ou à partir de 1 et en convenant de débuter au Nouvel an maya (premier jour de Pop). RP : rang dans la période (mois ou résidu Uayeb) selon que l’on énumère à partir de 0
ou à partir d’un autre entier. CRi : date CR reconstituée (ici on énumère à partir de i = 0, 1 ou 2).

On peut compter les jours de chaque période/mois :  février a 28 jours, décembre en a 31 ; Uayeb en a 5 et tous les mois mayas, Pop par ex., en ont 20 : l’année vague
solaire de Landa va d’un 1er Janvier /12 Kan à un 31 Décembre et
compte 365 jours.

On remarque que les dates CRi reconstituées ne respectent pas toutes [1] la ROCm résumée par le tableau suivant :

Conjectures. Pour interpréter le fait remarqué, tout en conservant la validité de la ROCm, je propose une troisième reconstruction des dates CR. La nouvelle reconstruction, CR est obtenue en supposant que les énumérations commencent à 2 par exemple sur le 1er jour du premier mois après le résidu Uayeb de cinq jours qui se verrait attribuer la date sans étoile 12 Kan 2 Pop. Passer de CR2 étoilée à CR3 non étoilée revient à incrémenter de 1 le rang β de la date ha’ab βY : 12 Kan *1 Pop devient 12 Kan 2 Pop.

Une telle restauration peut être obtenue de deux manières :

  • 1) Supposer que les Mayas auraient contracté l’habitus d’énumérer à partir de 2 (par ex. auprès des Tlapanèques, des gens de Teotihuacan ou d’ailleurs) ou, plus
    vraisemblablement, qu’ils auraient déplacé le point de départ/ arrivée du cycle
    (20, 1, 2, 3, 4,  etc., 16, 17, 18, 19), ce qui revient à retarder le Nouvel an au 3ème jour de Pop.
  • 2) Soit, et c’est ma préférence, supposer que le Nouvel an (sans numéro b) et donc aussi tous les premiers de mois (Uayeb inclus) tombaient un jour Kan,
    Muluc, Hix ou Cauac, ce qui revient à considérer que le quarteron des Porteurs d’année était, comme dans les pages du codex de Madrid, le jeu P2.

Surtout attestés aux époques ou chez les peuples qui ne numérotaient pas/plus les jours des mois de l’année festive[1], les changements de Porteurs avec abandon/absence des rangs b mènent à la conjecture qu’ils auraient pu être adoptés parce qu’ils permettent de contourner la ROCm incompatible avec la correction bissextile ou autre[2].


[1] Ce qui n’interdisait pas aux anciens de s’exprimer et de parler par ex du « 1er
ou du Nième » jour du mois de « Xipe Topec ».

[2] Changer de Porteur tout en maintenant les β – par ex. le 0 de 0 Pop –  revient à changer le CR pour l’un de ses clones. Cela arrive quand on cherche à corriger le retard de l’année vague, et Landa a écrit que les Mayas le faisaient tous les 4 ans.

D’où, par exemple pour le mois Pop, les reconstructions possibles suivantes : CR1 est la forme attestée à l’époque classique et CR3 la forme attestée par Landa qui ne marque pas les rangs β (ce qui revient à dire que les contemporains n’utilisaient plus le calendrier de l’année vague solaire de 365 jours tout en conservant une année festive de 18 mois suivis d’une période Uayeb de 5 jours non datés mais bel et bien comptés) :

Ce qui tendrait à démontrer que les changements de quarteron de Porteurs ou d’Éponymes d’année se seraient peut-être produits – aux époques ou chez les peuples qui ne numérotaient pas (ou plus) les jours des mois de l’année festive –  pour s’affranchir de la règle ROCm quasi incompatible avec la correction du retard que prend l’année vague sur l’année tropique. Ce qui d’ailleurs n’interdisait pas aux anciens Mexicains de s’exprimer et de parler par exemple du « 1er ou du Nième » jour du mois consacré à Xipe Topec, mais cette façon de s’exprimer n’est pas à proprement parler ‘dater’. Car dater c’est faire usage d’un calendrier permettant de distinguer et définir chaque jour de l’année en lui attribuant une ‘date’ c’est-à-dire une expression unique et univoque.

Extraits de Relación de las cosas de Yucatán (éditions CIEN, Mexico, 2003)

Landa présente l’année ha’ab en deux parties insérées dans le moule d’une année julienne ; la 1ère partie (p. 148-165) irait du

{[12 Ben ¤ Chen01/01/1554] au [12 Lamat ¤ Uayeb15/07/1554] }

et la 2nde (p. 166-183) du

{[12 Kan ¤ Pop ≈ 16/07/1553]} au [11 Eb ¤ Chen31/12/1553]}.

Les signes : ¤  parce que Landa n’indique jamais le rang β dans la période Y et parce l’égalité dépend de la constante de corrélation[6] adoptée. Les parties jj/mm des dates juliennes sont en gras parce que Landa les a indirectement renseignées : on les obtient en comptant les jours de ses mois juliens; c’est ainsi par exemple que l’on peut affirmer que son mois de février avait 28 jours, et que les mois mayas avaient 20 jours.

 

page 148                                                                             et page149


pages 165-166                                                                   et page 183

Conclusion. Bien qu’elle n’enregistre pas les rangs β, l’année vague solaire de Landa serait un calendrier par le truchement d’une sorte de métissage avec l’année julienne. Les deux systèmes sont en effet synchronisés par l’équation associant le Nouvel an européen de date 1 Janvier (et de lettre dominicale a) à la date maya 12 Ben [¤] Chen, ou, ce qui revient au même, le Nouvel an maya 12 Kan [¤] Pop à la date julienne 16 Juillet (de lettre dominicale a). En conséquence de cette synchronisation, la marche des jours de la  semaine divinatoire et celle des jours de l’année festive se trouvent elles aussi synchronisées.

L’année vague solaire maya de 365 jours reconstituée par Landa irait du 16 Juillet 1553 julien (26 Juillet 1553 grégorien) au 15 Juillet 1554 julien (25 Juillet 1554 grégorien) en faisant choix d’une constante de corrélation C = 584 284. Les logiciels permettent de vérifier par exemple que le 01/01/1554 julien du texte de Landa correspond au 11/01/1554 du calendrier grégorien et que cette date convient, dans la mesure où l’ordinateur fournit les relations suivantes (et d’autres informations comme par ex. la donnée du ‘seigneur de la nuit’) :

11.16.14.;6.13. = 12 Ben 11 Chen = 11/01/1554 gré. avec C = 584284

===============================================

Ce texte mis à jour en février 2012 fut initialement rédigé pour les doctorants de l’Université scientifique et technique Bordeaux 1 inscrits au module « Archéoarithmétique maya » sous la responsabilité d’André Cauty et de Jean-Michel Hoppan



[1] Les constituants X et β des 18 980 couples αXβY ne sont pas quelconques et vérifient une condition portant sur X et β.

[2] Comme pour sa recherche de l’alphabet maya en y parvenant plus ou moins ; à mon sens : plutôt moins que plus.

[3] Comme le prouvent les noms de mois espagnols et les lettres dominicales des jours que je n’ai pas retranscrits à l’exception du mois de ‘Junio’ et de la lettre ‘e’ du 1er jour de Juin.

[4] Ces jours étaient bel et bien datés à l’époque classique. Par ex. la date 9.6.0. ; 0.0. 9 Ahau 3 Uayeb de la stèle 14 de El Caracol correspond au 22 mars 554 qui serait le jour de l’Équinoxe de printemps. Les pages vénusiennes du codex de Dresde contiennent des dates de la forme αX β Uayeb.

[5] Ce qu’indique et signifie le fait que ces dates sont frappées d’un astérisque *

[6] Par ex. le 11.16.13.16.4. 12 Kan 2 Pop = 17/07/1553 julien avec la constante 584285, mais 11.16.13.16.4. 12 Kan 2 Pop =  15/07/1553 julien avec la constante 564283 ; la constante 584284 donne 11.16.13.16.4. 12 Kan 2 Pop = 16/07/1553 julien.

André

Association d'Ethnolinguistique Amérindienne Professeur d'épistémologie et histoire des sciences

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L’arithmétique a bon dos

 

Les savants répètent beaucoup que le calendrier mésoaméricain résulte de la combinaison (souvent illustrée par l’image de l’engrenage) de deux calendriers, à savoir le calendrier divinatoire de 13 x 20 = 260 dates, et le calendrier de l’année vague solaire de 365 jours[1] généralement présentée comme une année festive organisée en  18 mois de vingt jours et 1 résidu de jours ‘funestes’.

Ils expliquent ensuite que cette combinaison génère un cycle de 52 années (voire de 18 980 jours) que les anciens mexicains distinguaient par autant d’expressions qui se suivaient selon une règle simple[2]. Par exemple, Hernández (2006) :

Pour justifier ce que j’appelle la thèse de l’engrenage –– dont les 4 principales propositions sont : 1) une année postulée être toujours de 365 jours, 2) une durée donnée en jours (18 980) et en années (52) du produit de la combinaison du calendrier divinatoire et de l’année, 3) la  structure en 13 x 4 du cycle des Porteurs ou Éponymes, et 4) la règle de succession des dates αXP ––, les savants s’en remettent à l’évidence ou invoquent les dieux de l’arithmétique scolaire. En l’occurrence le fait que 260 et 365 ne sont pas premiers entre eux, que leur PGCD est 5, et que leur PPCM est 18 980.

Bien qu’il n’existe pas d’exemples de date aztèque écrite avant la Conquête en année/calendrier de 365 jours/dates, la plupart des auteurs considèrent l’année festive des anciens Mexicains comme étant un calendrier de 365 jours datés. Dehouve (sd) par exemple écrit même, dans Les deux calendriers aztèques , que c’était le premier :

Le premier calendrier établissait une subdivision de l’année solaire et du cycle végétal, comme l’indiquait son nom : xiuhpohualli, « le compte annuel », de xihuitl qui signifie à la fois « l’année » et « les feuilles ». Ce calendrier était composé de 18 mois de 20 jours (soit 360 jours), auxquels s’ajoutaient 5 jours pour constituer une année de 365 jours.

Cet auteure est consciente de l’inconsistance de cette considération puisqu’elle écrit que le xiuhpohualli « ne permettait ni de donner un nom aux jours ni de suivre le déroulement des années » mais elle n’en partage pas moins : a) la thèse de l’engrenage du supposé calendrier xiuhpohualli (365 jours) et du calendrier divinatoire tonalpohualli (260 dates) et b) l’appel à leur plus petit commun multiple (18 980) pour à la fois justifier la durée 52 du SA (sans doute obtenue en divisant 18 980 par 365) et expliquer le retour cyclique des noms/dates (en calendrier divinatoire) des jours de l’année :

Le plus petit commun multiple de 260 et 365 est 18 980. Ce n’est donc que tous les 52  [= 18 980 : 365] ans qu’un jour portera de nouveau le même nom dans les deux calendriers [= date tonalpohualli et date xiuhpohualli ?] . On donne à cette période le nom de siècle mexicain [siècle aztèque, SA], appelé en nahuatl xiuhmolpilli, « ligature des années ». Un siècle de 52 ans renfermait 73 tonalpohualli, de la façon suivante : 52 x 365 = 73 x 260 = 18 980 jours. Deux siècles de 52 ans comportaient 104 ans et étaient nommés huehuetiliztli, « une vieillesse », car on pensait que tel était l’âge maximal que pouvait atteindre un homme.

Mais sans contraintes dûment explicitées sur la combinaison des 2 cycles ou calendriers, les maths invoquées ne prouvent pas les durées (ni en j ni en a) du SA, et elles ne suffisent pas à expliquer LE cycle des dates tonalpohualli – effectivement suivi, hic et nunc, chez tel peuple et à telle époque – par un jour donné de l’année (éponyme ou non).

Il faut donc retourner aux documents pour établir un état des lieux expurgé des habituels présupposés et autres projections ethnocentriques que l’on trouve dans trop d’études portant sur le calendrier aztèque ou, plus généralement, sur les calendriers mésoaméricains. Or, les données calendaires les plus sûres en dehors du classique maya  prouvent qu’un événement aztèque était enregistré en donnant deux informations : la date tonalpohualli du jour de l’événement et la date tonalpohualli du jour éponyme de l’année où cet événement eut lieu : par exemple, le Templo Mayor fut ré inauguré, à en croire le Monolithe de la dédicace, un jour 7 Acatl d’une année 8 Acatl.

La réalité du siècle aztèque ne fait donc aucun doute, mais elle ne dit pas qu’il résulte, comme le Calendrier Rituel des Mayas, de la combinaison des cycles de 260 et 365 éléments, dont le produit 260 x 365 = 94 900 = 5 x 18 980 n’est ni un siècle aztèque ni un calendrier rituel maya.

Pour obtenir un siècle aztèque (xiuhmolpilli) de 52 années (de type quelconque : festive, vague, tropique, sidérale), il suffit de les distinguer et de les définir chacune par une expression composée unique et univoque, comme cela semble avoir été le cas depuis plusieurs siècles av. J.-C. par ex. chez les Zapotèques. Quoi qu’il en soit, pour des raisons encore mal connues, certains peuples mésoaméricains ont vraisemblablement utilisé dès cette époque des jeux de 52 expressions de la forme αXPα  est un entier variant de 1 à 13 et où XP est élément d’un quarteron de signes prélevés dans l’ensemble des 20 signes X de jours. Ces expressions désignent une année par le truchement du choix d’un jour éponyme, chacune est donc un cas particulier de l’usage plus général et sans doute plus ancien des expressions de jour que l’on trouve en particulier dans la formation de nombreux anthroponymes.

Très bien attestées, les 13 x 20 expressions αX de jour (et sans doute les expressions αXP d’année) étaient en usage sur probablement toute l’étendue de la Mésoamérique, du milieu du 1er millénaire av. J.-C. jusqu’à la Conquête espagnole et à l’imposition du calendrier européen. Un jeu complexe de connotations symboliques – relevant de numérologies et de mythologies largement partagées par tous les Mésoaméricains – fait que les deux constituants de ces expressions permettaient, aux scribes sachant les lire et capable d’en maîtriser les mille significations, de prédire (à la manière des horoscopes) le destin du natif d’un jour daté αX ou ce que j’appelle la ‘couleur’ de l’année notée αXP. Les quatre signes XP sont dits « Porteurs » ou « Éponymes » de l’année[3] répondant à l’expression αXP.

Moins bien attestées, sauf dans les chroniques comme celle du codex Mendoza par exemple, les 13 x 4 expressions αXP permettaient de désigner 52 années et d’en prédire la couleur. Elles formaient un cycle récurrent (en fait, une file) divisé en 13 classes de quatre années de même numéro, ou en 4 treizaines d’années de même signe et ayant respectivement pour chef de file les éponymes, par ex. les années aztèques 1 Acatl, 1 Tecpatl, 1 Calli, et 1 Tochtli  du document colonial en annexe (xiuhmolpilli et tonalpohualli) :

Los mexicas designaban a los años usando los nombres de los días ácatl (caña), técpatl (pedernal), calli (casa) tochtli (conejo) » (Marcus;2000:18).

L’usage des expressions αXP ne prouve pas que le siècle aztèque comptait, comme le Calendrier Rituel des Mayas de l’époque classique, 18 980 jours. Il ne prouve pas non plus que l’année aztèque comptait 365 jours, ni que l’année festive de 18 mois et 1 résidu (jours funestes) faisait toujours 360 + 5 jours datés. L’usage de cette notation prouve par contre que le siècle aztèque devait compter 52 années, autant que d’étiquettes αXP.

Les listes aztèques d’expressions αX et αXP sont par ailleurs assez nombreuses pour en déduire leur ordre de succession canonique : elles se suivent selon une loi simple :

« le successeur d’un jour daté date αX (respectivement d’une année datée αXP) est daté par l’expression obtenue en incrémentant de 1 modulo 13 le rang α et en prenant le successeur de X dans le cycle des vingt signes de jour (respectivement le successeur de XP dans le cycle des quatre porteurs ou éponymes) »

C’est la même règle d’énumération qui régit les « lundi 3, mercredi 4, etc. » du calendrier européen. Ces lois d’énumération du produit des cycles ordonnés (α, X et XP), notamment celle des éponymes, ne découlent pas directement des propriétés arithmétiques des entiers 260 et 365. Plus précisément, les propriétés arithmétiques invoquées ne s’appliquent qu’après avoir constaté que la ronde des dates et la structure du SA (ou du CR des Mayas du Classique) résultent d’une convention d’énumération des éléments αX (respectivement αXP) d’un produit de cycles premiers entre eux (le cycle des 13 rangs α et celui des 20 signes X ou respectivement des 4 signes XP) ; cette convention correspond à une lecture par ligne ou par colonne des cellules d’un tableau 13 x 20 (respectivement 13 x 4) ou à un engrenage comprenant une roue de 13 α et une roue de 20 X (respectivement 4 XP).

Remarque. «Prendre le successeur de XP (dans le quarteron des Porteurs/éponymes) » est équivalent à «Incrémenter XP de 5  (dans le cycle des vingt signes de jours) ».

Mais cela ne suffit pas encore à rendre compte de la réalité des calendriers ou des pratiques calendaires. La réalité historique est simple : les Mésoaméricains n’utilisaient pas tous le même quarteron de Porteurs ou d’Éponymes, et ils pouvaient à l’occasion en changer. En d’autres termes, l’arithmétique si souvent invoquée – pour expliquer la durée entière du SA (52 ans, voire 18 980 jours) et la généralité du cycle des éponymes – ne rend pas compte de la diversité historiquement observable des calendriers.

Au mieux, l’arithmétique explique après coup la (relative) stabilité d’un siècle aztèque (calendrier annuel de 52 éléments) dès lors qu’il a été correctement installé. Ignorant le fait que l’almanach (260) peut s’appliquer de 5 façons différentes sur l’année (365) donnant un total de 94 900 jours/dates différents, un trop grand nombre de savants laissent penser qu’ils postulent que le cycle des Éponymes résulte : a) du fait arithmétique que 260 et 365 ne sont pas premiers entre eux (PGCD = 5, PPCM = 18 980), et/ou b) d’une combinaison des roues de l’engrenage postulée à tort ne pouvoir se faire que d’une seule façon.

Les arguments de ce type sont tout simplement faux. La raison en est simple : ils ne tiennent compte ni des conditions initiales, peuple par peuple et époque par époque,  ni de l’instabilité du (ou des) processus calendaire(s) consistant à dater les jours du temps qui s’impose à l’homme. L’histoire démontre d’ailleurs amplement le fait que le « bon vouloir » des princes peut à tout moment modifier ou briser le cours des calendriers, et, de ce point de vue, la Mésoamérique coloniale est un cas d’école puisqu’elle fut le théâtre à la fois de l’éradication des calendriers indigènes dans un contexte génocidaire, et du passage du calendrier julien au calendrier grégorien dans un contexte de guerre de religion entre catholiques réformateurs et protestants conservateurs. Notons ici que la question ne se pose pas de la même manière chez les Mayas du Classique : ils n’étaient pas dans le même contexte, et, d’autre part, parce que les scribes utilisaient à cette époque une année vague solaire de 365 jours et un calendrier annuel, le ha’ab, de 365 dates βY, et qu’ils contrôlaient, au jour près, toutes leurs équations calendaires grâce au système du Compte Long et à leurs tables de multiples et autres tableaux dates.

Démonstration. Soit A le jour de la cérémonie ou de l’événement (astronomique, agricole, économique, social, politique…) B d’une année festive/vague de trois cents soixante-cinq jours, 365 j, datés αX en calendrier divinatoire tonalpohualli de 260 dates. En arithmétique modulaire 365 = 0 (modulo 5), 365 = 1 (modulo 13) et 365 = 5 (modulo 20). Quelle que soit la structure de l’année, les 3 égalités modulaires ou les 3 valeurs 0, 1 et 5 rendent compte du fait que, d’année en année, la date αXBA de la fête ou événement B du jour A devient [(α+1), (XBA+5)] alors que sa date βY en calendrier de l’année vague solaire reste invariante (si et seulement si lusage de telles dates est attesté, comme c’était le cas par ex. en calendrier ha’ab maya à l’époque classique).

Sans moyen canonique de les distinguer, l’arithmétique montre aussi qu’il existe 5 classes (quarterons) également possibles de tels XBA. Cette pluralité établie par l’arithmétique modulaire répond à deux situations historiquement observables et parfaitement logiques (il n’y a aucune interdit logique qui pourrait tel jour de l’année à ne tomber que sur certains jours de la semaine : si Pâques tombe un dimanche c’est parce que les hommes d’église en ont ainsi décidé) :

1) sans contraintes sur les conditions initiales du processus de datation, le premier jour daté de l’année (jour de l’an, éponyme ou jour quelconque) peut se voir attribuer n’importe quelle date αX0 du calendrier divinatoire (il peut tomber n’importe quel jour de la ‘semaine’ divinatoire de 260 jours. Contrairement à Pâques qui ne peut tomber qu’un dimanche, nul décret ne peut obliger le Soleil à passer au Zénith seulement les jours Dimanche)

2) sans garanties sur la stabilité du processus de datation (que l’on postule toujours immuable dans le temps, comme s’il s’agissait d’une loi de la Nature, de l’arithmétique ou de la computation assistée par ordinateur), n’importe quel jour de l’année peut se voir attribuer n’importe quelle date αX0 du calendrier divinatoire ; pour le voir il suffit de se rappeler que parfois l’histoire, un roi, un pape ou un collège… change les règles du jeu (ce qui gêne tout le monde et provoque des remous dans le peuple) et, en ce qui nous concerne ici, la façon d’apparier les jours de l’année avec les dates de l’almanach ou du calendrier

Soit Xiε[0,4] une suite de 5 signes X consécutifs, alors les dates αXBA sont de la forme : αX0,5,10,15 ; αX1,6,11,16 ; αX2,7,12,17 ; αX3,8,13,18 ; ou αX4,9,14,19 (ou exclusif) formules où les indices en progression de 5 servent à désigner les 4 signes du quarteron d’une date XBA ; par exemple : si X0 = Calli, alors X5 désigne Calli + 5 = Tochtli, X10 désigne Calli + 10 = X5+5 = Tochtli + 5 = Acatl, et X15 désigne Calli + 15 = Tecpatl; et de même pour les signes X1,6,11,16, X2,7,12,17, X3,8,13,18 et X4,9,14,19.

Supposons qu’en l’an a = 0 le jour A de la fête B (ou le jour convenu éponyme de l’année, ou encore le jour de commencer les semailles ou de payer l’impôt) tombe à une date αXBA de la forme (α, X0 = Calli), alors les années suivantes le jour A devrait tomber (à condition que l’ensemble des conventions calendaires reste stable) aux dates : [(α+1), Tochtli], [(α+2), Acatl], [(α+3), Tecpatl] avec retour à Calli [(α+4), Calli]. Et si, en l’an a = 0, il tombe sur une date (α, X1 = Cuetzpalin), les années suivantes il tombera aux dates : [(α+1), Atl], [(α+2), Ocelotl], [(α+3), Quiyahuitl] et retour [(α+4), Cuetzpalin)]. Et ainsi des trois autres possibles (i.e. X2 = Cohuatl, X3 = Miquiztli, et X4 = Mazatl).

Au final, on observe que le jour A de la fête B peut tomber, selon les peuples et les époques, sur cinq jeux de dates P0, P1P2, P3, ou P4. À savoir les cinq quarterons :

P1 = { Calli, Tochtli, Acatl, Tecpatl } ; P2 = { Cuetzpalin, Atl, Ocelotl, Quiyahuitl} ; P3 = { Cohuatl, Itzcuintli, Cuauhtli, Xochitl} ; P4 = { Miquiztli, Ozomatli, Cozcacuauhtli, Cipactli} ; P0 = { Mazatl, Malinalli, Olin, Ehecatl} ;

Les 20 signes X de jour (codex Durán) et leurs noms (en yucatèque et nahuatl colonial)

CQFD.

Ce qui prouve en particulier que le cycle des Porteurs/éponymes dépend directement des façons (à préciser pour chaque peuple et époque) d’appliquer l’un sur l’autre les cycles 260 et 365 (positions relatives initiales et lois de succession) et pas seulement des propriétés arithmétiques du couple d’entiers (260, 365).

Plus précisément, sans qu’il soit nécessaire de fixer le type (vague, tropique ou sidéral) et la durée (entre 360 et 366 j) de l’année festive, l’habitus mésoaméricain de désigner les années par les expressions composées αXgénère un SA de 52 ans aussi sûrement  qu’il y a de cartes dans un jeu de 4 couleurs et 13 valeurs ; et cela suffit à expliquer la datation aztèque qui consiste à attribuer au jour de l’événement relaté une date (αX, αXP) a priori sans rapport fonctionnel avec la date (αX, βY) que le CR maya de 2.12.;13.0. jours datés par 18 980 dates lui donnait à l’époque classique.

Jusqu’à preuve du contraire, l’incrémentation journalière (+ 1 jour) du constituant αX et l’incrémentation annuelle (+ 1 an) du constituant αXP d’une date aztèque comme celle du Monolithe de la dédicace sont indépendantes l’une de l’autre, et elles suffisent à rendre compte de la datation aztèque sans faire la moindre hypothèse sur la durée ou sur la structure de l’année festive des hommes ou sur celles de l’année astronomique du Soleil, divinisé ou non.

 Références

Dehouve, D., sd, Les deux calendriers aztèques, http://www.gemeso.com/nahuatl /autres-dossiers-thematiques/calendrier-des-vingtaines/

Hernández, C., 2006, ‘The Fortunes for Maize in the Codex Borgia’, Ancient America, 8-9, pp. 1-35.

Jonghe (de), E., 1906, ‘Le Calendrier mexicain, essai de synthèse et de coordination’, Journal de la Société des Américanistes, Nouvelle Série. Tome 3 n°2, pp. 197-227. En ligne à l’adresse : http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/jsa_0037-9174_1906_num_3_2_3463

Marcus, J., 2000, ‘Los calendarios prehispánicos’, Arqueología mexicana, vol. VII, n° 41, Mexique, p. 12-19.

Annexe : xiuhmolpilli (ligature des années) et tonalpohualli (semaine divinatoire) à l’époque coloniale

Siècle aztèque de 13 x 4 années notées αXP et calendrier divinatoire de 13 x 20 jours datés αX


[1] Les plus imprudents parlent même d’année astronomique (tropique ou sidérale).

[2] Voir par ex. de Jonghe (1906) pour une étude de ces questions au début du XXe siècle.

[3] Je réserve le terme de Porteur au cas où XP est lié au 1er jour de l’année comme c’était le cas, chez les Mayas de l’époque classique, du Nouvel an daté 0 Pop (orthographe yucatèque et calendrier ha’ab). Le terme Éponyme est réservé au cas où XP est lié par une convention (souvent perdue) à un jour choisi de l’année (par ex. le vingtième et dernier jour du 4ème mois de l’année).

André

Association d'Ethnolinguistique Amérindienne Professeur d'épistémologie et histoire des sciences

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Zoom sur le symbolisme guerrier de macuilli ‘5’ et sur les deux zéros mayas

1.- L’entier ‘cinq’

De très nombreuses numérations parlées sémiotisent l’entier cinq par un énoncé numéral qui renvoie au fait anatomique que les mains et les pieds de l’homme ont respectivement  cinq doigts et cinq orteils[1], ou au fait culturel que la plupart des locuteurs utilisent les doigts, les mains et les parties du corps comme instruments pour saisir, montrer, énumérer, dénombrer ou mesurer de petites grandeurs. L’auteure d’un ouvrage récent
(Dehouve;2011b) explique que « dans une société guerrière comme celle des Aztèques » les locuteurs seraient allés au-delà du constat anatomique et de la convenance instrumentale en accordant une valeur hautement plus symbolique au couple du nombre cinq et de
la main, la valeur « guerrière » de la main d’un soldat en train de faire des prisonniers :

« Cinq » se dit en nahuatl macuilli (« prise de la main »). Dès lors, il y a homologie entre le nombre et la main, et le symbolisme du cinq se fonde sur celui de la main. Dans une société guerrière comme celle des Aztèques, la main désigne, par métonymie, le combattant qui effectue un prisonnier[2] […]. On pourrait même penser que le terme macuilli qui sert à désigner le cinq » signifie non pas « prise de main » comme on le dit habituellement, mais « prise avec la main » et se réfère au geste de capture (p. 164-165).

Bien que vigésimales et sans zéro, les numérations écrites et parlées des Aztèques n’étaient pas du même type : les types Articulation de la numération nahuatl et Additif de la numération écrite ne sont pas isomorphes. Les entiers de 1 à 19 s’écrivaient en logique
répétitive, chacun par une chaîne d’autant de points que sa valeur numérique : macuilli ‘5’ s’écrivait en alignant cinq points. León Portilla (2003:57) signale l’usage chez les Mayas, les Mixtèques ou à Teotihuacan d’un signe pour cinq en forme de barre (2 barres pour dix, et 3 pour quinze), et, chez les Aztèques, l’usage rare d’une tardive abréviation consistant à noter 5, 10 et 15 par les fractions ¼, ½ et ¾ du signe pantli ‘drapeau’ de l’entier 20. Nulle part, à l’écrit, l’entier cinq ne semble lié à main du soldat[3], et vice-versa.

À en juger par les scènes dessinées qui illustrent les codex, les anciens Mexicains accordèrent rapidement – dès les premières années de la colonisation – aux Espagnols l’intelligence d’avoir saisi toute la force idéologique du geste de capture : la prise par les cheveux de l’asservi (Kingsborough) ou du combattant (Mendoza).
Dans le cadre guerrier qu’elle bâtit, Dehouve donne un deuxième argument censé renforcer l’« homologie » entre l’entier cinq et la main.

La démonstration suppose deux identifications :

1) Celle des dieux guerriers portant chacun un nom calendaire[4] de la forme 5 X :

Il existe en outre un groupe de dieux proprement guerriers, les macuiltonallèquê, dont le nom signifie « Ceux qui ont un jour, ou un destin, en cinq ». La raison en est qu’ils portaient des noms […] qui comportaient le nombre cinq. […] Cinq Fleur, Cinq Lézard, Cinq Vautour, Cinq Lapin et Cinq Herbe tordue (p. 165) ;

2) celle d’une particularité de leur représentation iconographique : une main autour de la bouche. On peut alors enfiler les allusions au cinq et à la main des macuiltonallèquê et produire des chaînes de métaphores : « dieux guerriers = dieux dont le nom calendaire commence par l’entier 5 = dieux au nombre de 5 = dieux dont la figure comprend une main autour de la bouche… ».
Le liant de telles chaînes de symboles est une suggestion de Danièle Dehouve : interpréter la marque de la main peinte autour de la bouche des dieux cinq comme un symbole guerrier. Pour cela, Dehouve évoque les croyances aztèques relatives à la mort des femmes survenant au cours de l’accouchement et propose une exégèse d’une image de Tezcatlipoca[5] dans le Féjervary-Mayer :

Les dieux guerriers sont reconnaissables à la marque de la main qui entoure la bouche. Ainsi Tezcatlipoca (fig. 21b, Codex Fejerváry-Mayer, 44) applique-t-il sur ses lèvres la main prolongeant un avant-bras tranché. Cette représentation fait sans doute allusion aux propriétés magiques détenues par l’avant-bras des femmes mortes en couches. Ces dernières étaient assimilées à des guerriers morts sur le champ de bataille ou sur la pierre sacrificielle […]. Le Tezcatlipoca du Codex Fejerváry-Mayer se présente donc en divinité guerrière (p. 165).

Dehouve présente un 3ème argument (un 4ème suivra) : montrer que la marque de la main autour de la bouche des dieux guerriers « a peut-être une autre signification » et renverrait à l’idée (apparemment bien chrétienne !) d’« alpha et d’oméga » :

La place de ce Tezcatlipoca tout à la fin du Codex Fejerváry-Mayer, entouré  des 20 treizaines du calendrier rituel, suggère qu’il incarne l’alpha et l’oméga du cycle (id.).

Pour étayer cette intuition, Dehouve traverse l’espace/temps mésoaméricain et se pose chez les Mayas du Classique qui figuraient « le zéro positionnel au moyen de
plusieurs symboles, dont l’un était une main remplaçant la mandibule inférieure[6] », un zéro maya qui, écrit-elle, « évoquait à la fois la fin et le début d’un cycle calendaire ».

Comme Dehouve semble être sortie de son domaine de compétence, regardons ce qu’écrivent les spécialistes de l’arithmétique maya au sujet du « zéro positionnel » et du zéro qui marquait « à la fois la fin et le début d’un cycle calendaire ».

2.- Données et réflexions sur les deux zéros mayas

Les scribes mayas de l’époque classique distinguaient les concepts de date et de durée. On le sait aujourd’hui parce qu’ils développèrent des conventions[7] et des signes d’écriture différents pour coucher les dates et les durées qui émaillaient les textes écrits sur les monuments, le mobilier, la poterie ou le papier des codex.

Fait apparemment unique, les Mayas distinguèrent deux zéros : un zéro ordinal[8]
et un zéro cardinal[9] dont les signes ne furent jamais pris l’un pour l’autre.

Le premier zéro historiquement attesté est le logogramme CHUM développé pour noter le zéro ordinal des dates en calendrier ha’ab (année vague solaire de 365 jours). L’autre, le signe du zéro cardinal des durées, apparaît une quarantaine d’années plus tard sous la forme d’un coefficient/déterminant des unités de mesure de temps[10] en numération de disposition des stèles et des monuments, comme dans l’exemple ci-dessous du nombre « 8 x 144000 + 16 x 7200 + 0 x 360 + 0 x 20 + 0 jour » inscrit sur la stèle 19 d’Uaxactún. Dans les codex du postclassique, c’est un véritable chiffre zéro dans la numération vigésimale de position, comme dans les exemples « 2 [x 7 200] + 8 [x 360] + 12 [x 20] + 0 [jour] » et « 2 [x 7200] + 0.[x 360] + 10 [x 20] + 0 [jour] »extraits d’une table des multiples de 2 920 du codex de Dresde.

Le zéro cardinal est le plus souvent représenté, dans les codex, par un couteau de couleur rouge, et, sur les monuments, par une fleur à quatre pétales en partie recouverte par le signe de période qu’elle détermine. Comme le remarque Dehouve, le zéro cardinal des monuments est aussi représenté par un signe céphalomorphe avec une main qui couvre la mâchoire, et encore par un signe en forme de coquillage (dans les codex), par un miroir ou
un épi de maïs (sur les monuments).

Le signe CHUM du zéro ordinal dérive du signe du verbe d’état « s’asseoir/être assis » qui
marque l’idée d’intronisation (prise de fonction, changement de roi ou d’époque) et dont la plus ancienne attestation connue se trouve sur la plaque de Leyde qui porte à la fois le zéro de la date 0 Yaxkin et le verbe d’intronisation du roi ‘Lune-Oiseau’.

Le logogramme CHUM sert régulièrement à former l’écriture 0 Y de la date du premier jour de chacune des dix-neuf périodes de l’année vague solaire. De ce fait, toute date de la forme 0 Y désigne un jour à la charnière de deux mois successifs. Au Classique maya, une variante en TI’H’AB « fin/20 » fut parfois substituée à une date 0 Y. L’étude détaillée de ces variantes montre qu’elles notent un jour qui apparaît comme un surnuméraire de la période précédente, une date de la forme 20 (Y-1). C’est comme si le calendrier grégorien autorisait la variante 32 Décembre pour désigner le 1 Janvier[11].
Les formes 0 Y et 20 (Y-1) se trouvent parfois dans un même texte, comme ci-dessous les dates en Calendrier Rituel 13 Ik 20 Mol[12] (pour 13 Ik 0 Ch’en) et 9 Ik 0 Zac que le
hasard de la mise en page a réunies côte à côte :

De tels exemples montrent que, dans l’usage ordinal, 0 et 20 sont sémiotisés par les
logogrammes CHUM et TI’HA’B qui renvoient aux idées duales de début et de fin.
Ces logogrammes scindent le bifrons départ/arrivée[13] d’un cycle en deux concepts ordinaux liés par la glose Intronisation de Y = Achèvement de (Y1) ou par l’égalité 0 Y = 20 (Y1) ; ces deux concepts s’opposent aussi à leurs équivalents cardinaux[14]. En
d’autres termes, une date en TI’HA’B est la 21ème date du mois qui s’achève, et, en même temps, la 0ème du mois qui s’ouvre et dont les vingt jours étaient communément numérotés de 0 à 19. Quelle que soit la position de l’instant du jour (24 h) où un Maya était convenu de transiter de Aujourd’hui à Demain, le jour qui succède à CHUM Y – alias TI’HA’B (Y1) était daté 1 Y à l’époque classique. Le schéma suivant[15] illustre l’inscription « Sous Yaxkin, on compte les katun : 9-baktun 2-katun 15-tun ; 9-uinal 2-kin 9 Ik 20/TI’HA’B Yaxkin [variante de 0/CHUM Mol] » (Temple 17 de Palenque) :

C’est donc le zéro ordinal de l’intronisation qui peut renvoyer à l’idée d’alpha/ oméga ou de départ/arrivée d’un cycle. Contrairement à ce que dit Dehouve, ce n’est ni le zéro positionnel ni la main de son céphalomorphe. Le 3ème argument repose donc sur la confusion des deux zéros que les scribes n’ont jamais pris l’un pour l’autre. Ils leur donnèrent des formes différentes, et ils ne les firent entrer ni dans les mêmes syntagmes[16] ni dans les mêmes paradigmes :

Même en accordant à Dehouve l’intention de partir du bon zéro, sa preuve resterait irrecevable, car ce zéro ne renvoyait ni à l’idée de main ni à l’entier 5.

L’évolution du logogramme zéro ordinal (autrefois glyphe des lunettes) est en effet assez bien connue : elle débute par le croquis d’un individu assis en tailleur[17] c’est-à-dire dans la posture des hommes de pouvoir, comme les rois et leurs conseillers. De là, les plus anciens usages de CHUM dans des textes où il sert à marquer l’acte de monter sur le trône, le verbe ‘introniser’. Puis sa spécialisation à la notation d’un changement de cycle temporel, et à celle de l’« assise d’une période » du ha’ab, c’est-à-dire à celle de son premier jour.

Et si l’on voulait à tout prix une interprétation de la main remarquée par DD dans le céphalomorphe du zéro cardinal de la numération de disposition des stèles et monuments, on pourrait relire Delhalle et Luyks (1996) cité par Cauty[18]. Dans ce travail d’histoire des religions, la main sur la mandibule est interprétée dans le cadre des anciens sacrifices par arrachement de la mâchoire. Dans l’hypothèse où la conjecture serait démontrée, la main du zéro maya (dans le céphalomorphe ou le glyphe ‘miroir’) pourrait renvoyer à l’idée des guerres fleuries du monde aztèque[19]. À condition de payer le prix fort d’une rétroprojection.

En restant à l’intérieur du domaine maya, la fin sacrificielle pourrait motiver non
seulement le zéro cardinal mais aussi l’entier vingt, base de la numération de position des scribes[20], tant sous la forme écrite savante « 1.0. » que sous la forme parlée « 1 vingtaine [et le plein/zéro des unités] ». Un exemple unique d’écriture très exceptionnelle certifie cette possibilité a priori singulière d’un zéro qui ne renvoie pas au vide mais au plein. Il est écrit, en effet, sur la stèle 5 de Pixoy « Pour Muan ( ?) on compte les katun : 9-baktun 13-katun 20-tun ; 20-uinal 20kin 9 Ahau 13 Muan ». Cette série initiale peut/doit être lue « 9.14.0. ; 0.0. 9 Ahau 13 Muan ».

3.- Un argument de trop ?

Le quatrième et dernier argument présenté par Danièle Dehouve fait appel à un unique dessin d’une culture amérindienne encore moins liée aux Nahuas que ne l’étaient les Mayas du Classique, la culture des Ojibwa de l’Amérique du Nord :

Il faut noter que l’association de la main et de la guerre dépassait les limites de la Mésoamérique, comme le montre le portrait d’un guerrier ojibwa d’Amérique du Nord, réalisé au milieu du XIXesiècle. La main qui décore le pourtour de sa bouche et son épaule signifie, selon l’explication qui l’accompagne, qu’il a tué un prisonnier à main nue(fig. 21c).

Convoquer une peinture faciale d’un Ojibwa du XIXe siècle pour suggérer que la main qui s’y trouve pourrait renforcer le quelque chose de commun que Danièle Dehouve croit voir dans les images de Tezcatlipoca et des dieux guerriers des anciens Mexicains… me paraît une idée tellement « tirée par les cheveux » que je préfère ne pas la suivre. Sauf, peut-être, pour y voir un exemple de plus de ce que j’ai appelé le péché mignon des ethno-X[21].
Dès lors, des pans entiers du livre de Danièle Dehouve pourraient constituer autant
d’exemples de la sélectivité de L’imaginaire des nombres chez une anthropologue française du XXIe siècle qui, d’une part, ne dit ni depuis quand ni jusqu’à quel point les anciens Mexicains ont fait leur le trésor « européen » des chiffres arabes, de la numération décimale, du système métrique, etc. Et qui, de l’autre, en arrive à saisir l’invisible et à voir, dans les pratiques numériques des anciens Mexicains, non seulement un zéro et une numération de position, mais encore certaines des grandes avancées des mathématiques du XXe siècle, comme par ex. la découverte des fondements de la théorie des ensembles, celle de l’arithmétique des transfinis de Cantor ou encore celle des fractales de Mandelbrot.

À contre-pied des préjugés des auteurs des autodafés de l’époque coloniale qui diabolisèrent les produits culturels des Mésoaméricains et qui souvent jugèrent les Indiens
incapables de compter au-delà de cinq,  Danièle Dehouve pèche par excès de sympathie, faisant du même coup porter aux anciens Mexicains le poids de connaissances arithmétiques d’une richesse nettement au-dessus (et non pas au-dessous) de ce que révèlent les documents transmis par l’Histoire, et même au-dessus de ce que connaît l’individu lambda du monde industriel d’aujourd’hui.

4.- Des fluctuations du cours des valeurs autochtones

Dans « Una interpretación diversa de la aritmética nahualt según un manuscrito de Juan
Caramuel », H. Hernández Nieto (1978) décrit les variations du cours des valeurs culturelles que l’on observe chaque fois qu’un peuple en conquiert ou colonise un autre. Outre le sort que subissent les valeurs autochtones des peuples conquis, le travail d’Hernández Nieto montre qu’il est imprudent d’accepter aveuglément les doxas qui mesurent à leur propre toise les faits de culture des autres, surtout quand on se doute qu’ils furent imposés/empruntés de l’étranger ou qu’ils furent « contaminés » par ceux qui prétendent agir pour le bien du colonisé sous tutelle. D’où l’idée que l’enfer des anthropologues et des indigénistes peut aussi –comme celui de certains missionnaires ou humanistes désireux du bonheur des peuples – être pavé de bonnes intentions.

L’étude d’Hernández Nieto part du manuscrit inédit de Juan Caramuel Lebkowitz et de son charitable intérêt pour « l’arithmétique mexicaine » :

No carece deinterés que más de siglo y medio después de la Conquista, el español Juan Caramuel de Lebkowitz, sin haber pisado nunca tierras americanas, se interesara por la aritmética mexicana, como él la llama, y dejara un manuscrito con su interpretación y comentarios personales (p. 87).

Soucieux de « pénétrer avec un esprit ouvert l’arithmétique en usage dans l’ancienne Mexico », Caramuel réfute, d’une part à juste titre, l’affirmation du frère Alonso de Molina disant que la numération aztèque ne dépassait pas 8 000[22]. De l’autre, il réfute à tort la thèse avérée du caractère vigésimal de la numération nahuatl. Sur quoi Caramuel présente sa propre interprétation des expressions numérales qu’il a « manipulées » jusqu’à transformer la numération nahuatl en un système purement quinaire[23], une numération de position de base cinq :

Caramuel interpreta y manipula las raíces nahuas, para así lograr que el sistema numeral
sea del todo quinario, desarrollado por los números 5, 25, 125, 625, etc., es
decir, según 5n » (p. 90).

Hernández Nieto replace la bévue de Caramuel dans un contexte historique large. Il montre ainsi que les Conquistadors dénient d’abord toute valeur culturelle aux Autochtones, puis il explique comment les plus « compréhensifs » d’entre eux se révèlent, comme Caramuel lui-même, souvent encore plus dangereux et nuisibles pour les créations culturelles indigènes. Surtout les plus originales et profondes qu’ils supposent erronées ou qu’ils « contaminent » en essayant, sans y parvenir, de comprendre et qu’ils transforment ce faisant en « hybrides monstrueux » :

Ante las elaboraciones profundas del pueblo sometido, como no logran entenderlas, suponen que están erradas y burdamente las enmiendan, pues carecen de la amplitud de mente para al menos sospechar que pueda haber otro modo de entender diverso del suyo […] De aquí se origina un producto hibrido, monstruoso, que viene a reforzar la opinión de desprecio que tienen los denigradores de la cultura dominada » (p. 92.).

Les efforts des plus « compréhensifs » restent vains, car ils ont rarement l’esprit assez ouvert pour deviner, et a fortiori admettre, qu’il existe d’autres formes de penser que la
leur. D’où le risque de produire des « hybrides monstrueux » que courent les étrangers qui ne voient pas que la science des œuvres de l’autre est toujours le fruit d’un travail collectif et qui ne s’entourent pas, comme Caramuel dans la tour d’ivoire de son évêché de Campagna-Satriano dans le royaume de Naples, de mille truchements.

L’étude d’Hernández Nieto prend également en compte une « encyclopédie des sciences
mathématiques » publiée par Juan Caramuel[24]. Fort de sa connaissance des propriétés des bases des numérations de position, celui-ci critique le père jésuite Antonio Ruiz[25]
pour n’avoir pas compris la valeur des numérations parlées des grandes cultures indigènes que lui-même, Caramuel, aurait saisi en lisant les grammaires des langues indigènes, comme celle du guarani du même père Ruiz. Hernández Nieto rapporte l’explication que Ruiz se serait trompé pour avoir été trop occupé à enseigner aux Indiens la numération décimale « importante pour les confessions », et ne pas s’être donné la peine d’apprendre
la leur, d’en découvrir la nature et d’en reconnaître la valeur.

Ruiz les enseñaba el nuestro [système décimal], porque no quería sufrir la molestia de aprender el de ellos. Por esto no logro persuadirme que estuvieran totalmente desprovistos de la facultad de contar, sino que me atrevo a opinar que hacían sus cálculos según otro camino o método » (p. 88).

Refusant d’admettre que les Indiens n’auraient aucun sens arithmétique, Juan Caramuel lança la conjecture qu’ils auraient développé une autre arithmétique :

No me atrevo a estar de acuerdo con el padre Ruiz, pues una cosa es que otros pueblos no tengan ninguna aritmética, y otra, totalmente distinta, es que posean una diversa aritmética que desarrolla sus periodos por tétradas, y no por decenas, como la nuestra » (p. 98).

Une conjecture charitable qui l’a conduit à produire la démonstration fausse du caractère purement quinaire[26] de la numération nahuatl. Hernández Nieto tire quelques leçons du mémoire erroné de Juan Caramuel :

Sepamos distinguir sus deducciones, sin instrumentos arqueológicos o filológicos convenientes, de su buen deseo; y si nos parece que se ha equivocado, que al menos quede su ejemplo de no aceptar ciegamente las interpretaciones recibidas cuando se tenga la sospecha de que han sido impuestas por otras culturas o contaminadas en su intelección primordial por cualquier interés político, social o económico de las culturas dominantes. Observamos igualmente que la interpretación caramueliana tiende a considerar las culturas indígenas con más riqueza y no con menos. Baste, pues, para el fin de este trabajo, mostrar el interés que tuvo Caramuel por la culturas americanas e indicar sus métodos, tal de utilidad para el futuro (p.93, AC souligne).

Pour espérer comprendre les nombres des anciens Mésoaméricains, apprenons à critiquer nos propres travaux en les soumettant régulièrement aux regards multiplement croisés de
l’interdisciplinarité et de l’inter-ethnicité, dans la rigueur des procès de traduction où chaque truchement s’efforce d’entrevoir le bernard-l’hermite sous les coquilles de signifiants dans lesquels l’encryptent les locuteurs, chacun selon ses propres langues et cultures.

Références

Cauty, A., 1984/1986, ‘Taxinomie, syntaxe et économie des numérations parlées’ Amerindia, n° 9/11, Paris : Association d’Ethnolinguistique Amérindienne.

Cauty, A., 1991, ‘L’allatif, le sociatif… et le pied. Changement de type sémiotique en numération parlée chibcha’, Amerindia, n° 16, Paris : Association d’Ethnolinguistique Amérindienne.

Dehouve, D., 2011a, ‘La aritmética de los tiempos de penitencia entre los mexicas’, Estudios de Cultura Náhuatl, n° 41, p. 65-90, en ligne à l’adresse : http://www.danieledehouve.com/images/articles/aritmetica_de_la_penitencia.pdf

Dehouve, D., 2011b, L’imaginaire des nombres chez les anciens Mexicains, Rennes,
Presses de l’Université de Rennes, 285 p.

Delhalle, J.-C., et Luykx, A., 1996, ‘Les compagnons de l’enfer. Xolotl et le dieu du zéro’, Revue de l’histoire des religions, tome 213, n°3, pp. 301-319.

Guitel, G., 1975, Histoire comparée des numérations écrites, Paris, Flammarion,

Hernández Nieto, H., 1978, ‘Una interpretación diversa de la aritmética nahualt según un manuscrito de Juan Caramuel’, Paris, JSL, Journal de la Société des Américanistes, Tome LXV, pp. 87-101.

Annexes

1.- Aspects « guerriers » de la société aztèque dans le codex Mendoza

Conquêtes d’Ahuitzol (f. 13r)  et uniformes de guerriers (f. 67r).

 

 

 

 

 

 

 

2.-  Extraits du chapitre IX de l’ouvrage de Danièle Dehouve

La signification des nombres les plus utilisés dans la religion[27] peut être déchiffrée à condition de savoir sélectionner le principe à appliquer (p.154). Les symbolismes numériques constituent un système de classification métaphorique général des divinités et des constituants de l’univers. Celui-ci est structuré par les principes énoncés [ordre, qualitatif, quantitatif, complétude]. Le nombre ordinal introduit la hiérarchie dans le monde ; il est à l’origine de la formation des séries qui peuvent être lues dans un double sens ; dans l’un, le premier de la série (« un ») est prééminent mais, dans l’autre, c’est le dernier (13) qui est chargé de la force quantitative du nombre. Le symbolisme qualitatif s’ancre dans la réalité par métaphore et métonymie si bien que les nombres désignent des figures : le « deux » est le couple sexué, le « quatre » et le « cinq » évoquent le monde défini par les mouvements du soleil, le cinq, c’est aussi la main aux cinq doigts… En conséquence l’expression des nombres est arithmétique aussi bien que géométrique : le deux forme une paire, le trois dessine le triangle des pierres du foyer, le quatre compose un quadrilatère et le cinq, un quadrilatère barré de diagonales. Mais le monde n’est pas seulement complet, il est aussi riche de la valeur quantitative des nombres. Par addition et
multiplication, les nombres sont associés et transformés pour exprimer l’abondance. Enfin, les nombres sont utilisés pour exprimer la complétude du monde, notamment par l’utilisation du « deux », du « quatre » et des doublets ou difrasismos. Ces principes constituent les règles qui commandent le recours au symbolisme numérique et vont maintenant nous permettre de déchiffrer les rituels annuels (Conclusions de l’auteure, p. 177-178).

Symbolisme du Cinq

Le « cinq » avait plusieurs significations, selon le contexte et le principe[28] mis en œuvre.

La cinquième direction

Le cinquième point complète naturellement la représentation du quadrilatère cosmique dont il signale le centre. C’est pourquoi, dans plusieurs cas, le « cinq » ne représente qu’une autre façon de parler du « quatre ». Ainsi, le Feu, doté de quatre » subdivisions […] était qualifié de « cinq » dans d’autres circonstances […] il était nommé Tlaxictentica, « Celui qui occupe le nombril de la Terre » et Tlaxicco Onoc, « Celui qui est couché à l’endroit du nombril ». Certaines divinités ne se scindaient pas en quatre parties comme les autres, mais en cinq. C’était le cas d’Itzpapalotl, « papillon d’obsidienne » qui joua un rôle assez obscur à l’origine du monde. […] Itzpapalotl, jetée sur un bucher, éclate en cinq silex : bleu, blanc, jaune, rouge et noir. Les migrants dirigés par Mixcoatl ne conservèrent que le silex blanc […]. Les « dieux-cinq » nommés macuiltonallèquê, revêtaient également
cinq couleurs au lieu de quatre. Ce nombre intervenait également dans les divisions temporelles. Si le jour était rythmé par quatre événements rituels, la nuit en possédait cinq. On offrait donc de l’encens à quatre reprises pendant la journée […], durant la nuit, le même rituel se répétait cinq fois[…] (p. 163).

Le chiffre de l’excès

Si l’on change de registre et que l’on considère ce nombre dans le cadre du principe de complétude, on s’aperçoit que le « cinq » excède d’une unité le nombre parfait représenté par le « quatre ». Dans ce contexte précis, le cinq est le chiffre de l’excès et de la transgression, tout particulièrement associé à la boisson enivrante issue de l’agave que l’on nomme « pulque ». Les libations de pulque effectuées dans un cadre rituel devaient toujours être au nombre de quatre.
Selon un mythe […], Quetzalcoatl, alors roi de Tula, succomba aux maléfices de Tezcatlipoca qui, après lui avoir fait boire quatre coupes de pulque, lui en fit ingérer une cinquième qui l’enivra complètement. Le roi continua à boire avec sa sœur Quetzalpetlatl qui, elle aussi, but cinq coupes et ils rompirent ainsi leur jeûne et abstinence. […]. Le quatre et le cinq revêtent donc une signification bien précise lorsqu’il s’agit de pulque. Les rituels liés à la confection de cette boisson et aux libations cérémonielles respectaient toujours le nombre quatre. Mais l’ivresse était désignée par le « cinq » et une certaine sorte de pulque rituellement consommé se nommait macuiloctli (« pulque-cinq »).

La représentation de la main

« Cinq » se dit en nahuatl macuilli (« prise de la main »). Dès lors, il y a homologie entre le nombre et la main, et le symbolisme du cinq se fonde sur celui de la main. Dans une
société guerrière comme celle des Aztèques, la main désigne, par métonymie, le combattant qui effectue un prisonnier. Le geste de capture consiste, en effet, à tenir un captif par une mèche de ses cheveux. Le mot « main » (maitl) forme le verbe ma qui signifie « chasser, capturer, attraper à la chasse, à la pêche et à la guerre […] (p. 164).

On pourrait même penser que le terme macuilli qui sert à désigner le « cinq » signifie non pas « prise de main » comme on le dit habituellement, mais « prise avec la main » et se réfère au geste de capture. Il existe en outre un groupe de dieux proprement guerriers, les macuiltonallèquê, dont le nom signifie « Ceux qui ont un jour, ou un destin, en cinq ». La raison en est qu’ils portaient des noms […] qui comportaient le nombre cinq. Les cinq
« dieux-cinq » ou « dieux-main » étaient Cinq Fleur, Cinq Lézard, Cinq Vautour, Cinq Lapin et Cinq Herbe tordue .Tous portaient autour de la bouche la marque de la main (fig.21a). […] Les dieux guerriers sont reconnaissables à la marque de la main qui entoure la bouche. Ainsi Tezcatlipoca (fig. 21b, Codex Fejerváry-Mayer, 44) applique-t-il sur ses
lèvres la main prolongeant un avant-bras tranché. Cette représentation fait sans doute allusion aux propriétés magiques détenues par l’avant-bras des femmes mortes en couches. Ces dernières étaient assimilées à des guerriers morts sur le champ de bataille ou sur la pierre sacrificielle. […] Le Tezcatlipoca du Codex Fejervary-Mayer se présente donc en divinité guerrière. Mais la marque de la main autour de sa bouche a peut-être une autre
signification. On se souvient que les Mayas figuraient le zéro positionnel au moyen de plusieurs symboles, dont l’un était une main remplaçant la mandibule inférieure (chap. III)[29]. Or, le zéro maya évoquait à la fois la fin et le début d’un cycle calendaire. La place de ce Tezcatlipoca tout à la fin du Codex Fejerváry-Mayer, entouré des 20 treizaines du calendrier rituel, suggère qu’il incarne l’alpha et l’oméga du cycle. Il faut noter que l’association de la main et de la guerre dépassait les limites de la Mésoamérique, comme le montre le portrait d’un guerrier ojibwa d’Amérique du Nord, réalisé au milieu du XIXe siècle. La main qui décore le pourtour de sa bouche et son épaule signifie, selon l’explication qui l’accompagne, qu’il a tué un prisonnier à main nue (fig. 21c) […]. En 1618,
le curé Ruiz de Alarcón, au cours de sa lutte contre les idolâtries, interrogea un Indien originaire de la ville de Taxco (actuel État de Guerrero) […] (p 165).

Recueillie par le curé, celle-ci [une prière qui accorde la victoire] montre que près d’un siècle après la Conquête la mémoire des guerres précolombiennes n’était pas entièrement abolie :« Moi, je suis Quetzalcoatl, je suis la main, moi je suis la guerre ». Les « dieux-cinq » constituaient donc une représentation anthropomorphique des cinq doigts, et par extension de la main. « Dieux dont le jour est cinq, qui vont tous au même endroit » disaient les prières recueillies par le curé Ruiz de Alarcón pour évoquer les cinq doigts, tous dirigés dans le même sens. Ceux-ci étaient invoqués dans les circonstances guerrières, mais également lors des autres activités effectuées à l’aide de la main (p. 166).

C’était notamment le cas de la chasse […]. On faisait encore appel aux « dieux-cinq » pour réaliser des cures dans lesquelles opérait la main : pour pratiquer un accouchement et guérir les maladies d’yeux en les frottant avec des onguents, ou de gorge en y insérant les doigts […]. Les pratiques divinatoires constituaient un terrain d’action privilégié de la main et donc des cinq doigts ou macuiltonallèquê. C’était le cas de la « mesure de l’avant-bras » au moyen de l’empan, dans laquelle la main constituait l’étalon de mesure et l’instrument de la divination (chap. VIII). On trouve également la main au fondement du triage des grains de maïs, et des manipulations qui précédaient, au cours desquelles le
devin agitaient [agitait] les grains, les jetaient [jetait] en l’air à plusieurs reprises ou divisaient [divisait] les tas avec sa main, tout en invoquant les « dieux-cinq » […]. La main intervenait également dans le jeu [nommé patolli] qui n’était pas sans rapport avec la divination […]. Enfin, les artisans devaient leur habileté à leurs mains et c’est pourquoi
le « cinq » caractérisait l’activité des fabriquants [fabricants] de biens précieux […]. Cette analyse permet de jeter un regard novateur sur l’intervention de macuiltonallèquê dans la richesse, le jeu, la fête, la gaîté et les réjouissances et, par contiguïté métonymique, la danse et le chant. J’y vois là une conséquence des connotations métaphoriques du « cinq » qui ont trait au pulque et à l’ivresse. Ces dieux en venaient à concentrer des significations – la fête et la joie, la guerre et la mort – dont l’apparente contradiction n’a généralement pas pu être expliquée par les commentateurs. Ce paradoxe trouve sa résolution lorsqu’on comprend que ce qui confère leur unité à ces attributs, c’est le « cinq ». Un « dieu-cinq »
renvoie à trois notions : l’univers conçu sous l’aspect des cinq directions, les activités liées à la main et l’excès de l’ivresse (p. 167).

3.- le vingt lunaire dans les composés additifs et protractifs mayas

 

 

 

 

 

4.- Images indigènes du rapport de servitude
Les guerres « fleuries » des Aztèques servaient, entre autres finalités, à faire des prisonniers et obtenir ainsi des victimes à sacrifier au cours de cérémonies diverses. L’acte de capturer un prisonnier se représentait traditionnellement par la prise par les cheveux du combattant vaincu (3èmefigure) :

À en juger par les scènes dessinées qui illustrent les codex, les anciens Mexicains accordèrent rapidement – dès les premières années de la colonisation – aux Espagnols l’intelligence d’avoir saisi toute la force idéologique du geste de capture : la prise par les cheveux de l’asservi (codex Kingsborough) ou du combattant (codex Mendoza).

 


[1] Par ex. les numérations andoké (Cauty;1991), panaré et autres (Cauty;1984/1986).

[2] Le même raisonnement métonymique devrait conduire à l’identification « prise
par les cheveux » = « combattant vaincu fait prisonnier ».

[3] Même si chez les Mayas, selon Hoppan (communication personnelle), le dessin de deux mains peut parfois calligraphier le numéral  LAJUUN dix (signe MB7) et celui du poing (signe MZ5) la syllabe JO qui pourrait provenir du numéral JO cinq.

[4] D’après Dehouve, ce trait – nom en 5 X– ne suffit pas à l’identification «muchos dioses tenían el numeral cinco en sus nombres. Era el caso de los Macuiltonalehqueh […] pero existían además otros “dioses cinco” menos conocidos, como Macuilcalli, 5 Casa, dios de los lapidarios […] Macuilcipactli, 5 Caimán (Couvreur, 2002) y Macuilli Itzcuintli, 5 Perro (Serna, 1892, p. 317), fecha del dios de Mictlantecutli » (2011a:79).

[5] Selon León-Portilla, Tezcatlipoca est, avec Tezcatlanextía, un dieu dual « Espejo que por la noche ahúma y durante el día ilumina a las cosas » (2003, 17ème édition,p. 146).

[6] Dehouve donne peu d’illustrations indigènes. Elle donne (fig. 7) quatre figures du zéro
maya des codex et deux du zéro des monuments (fleur/demi-fleur), mais elle ne montre ni le zéro céphalomorphe (celui à la main sur la mandibule) ni le zéro ordinal.

[7] Par ex., écrire les dates en rouge et les durées en noir dans les almanachs parvenus jusqu’à nous, en particulier par le codex de Dresde.

[8] Attesté dès 320 ap. J.-C. par la plaque de Leyde

[9] Attesté dès 357 ap. J.-C. par les stèles 18 et 19 d’Uaxactún

[10] Attesté dès 120 ap. J.-C. par la pendeloque de Dumbarton Oaks.

[11] Daté 0 Pop, le correspondant maya du jour de l’an (défini comme le 1er jour du 1er mois de l’année) venait après le 5ème et dernier jour de la période Uayeb (le jour daté 4 Uayeb).

[12] Cotes C, D, E et F ligne 9 du Panneau du Temple de la Croix de Palenque (Chiapas, Mexique) au Classique Récent (4/9/694). Avec Jean-Michel Hoppan, nous avons relevé une douzaine d’occurrences du 20 ordinal, le plus souvent associé au mois Yaxkin.

[13] À Rome, le 1er jour du 1er mois de l’année était consacré à Janus, dieu des portes, dont l’un des visages était tourné vers l’année ancienne et l’autre vers l’année nouvelle.

[14] Par ex. le 20 de la numération additive est utilisé en logique cardinale pour marquer les petites durées (lunaison de 29/30 j, ou déplacements dans les almanachs) et, en logique ordinale, pour marquer l’âge de la Lune (de 21 à 29/30 j).

[15] Convenant que Janus marque l’instant du changement de mois, ici de Yaxkin à Mol, nous l’avons arbitrairement fixé au 12ème coup de minuit du jour 0 Mol (quand Mol a fini de s’installer).

[16] Le zéro cardinal est suivi d’une unité de mesure de temps et commute avec les entiers de 1 à 17/19 ; CHUM suivi d’un nom de mois commute avec les entiers de 1 à 4/19/20.

[17] Vu de profil et dont seul le tronc (ni tête, ni bras, ni pied, ni main…) est représenté.

[18] Miscelanea (2010, à paraître) : « La ‘main de l’achèvement’ sur la mâchoire des représentations en figure humaine est l’un des traits pertinents du zéro (céphalomorphe) que Delhalle et Luyks (1996) relient, par l’intermédiaire de semblables mains sur les figures de Xolotl ou de Vucub Kaqix aux plus anciens mythes, au jeu de balle, enfin au
supplice/sacrifice par arrachement de la mâchoire. Une main est aussi présente dans certaines réalisations du ‘glyphe D’ des séries lunaires (juliiy / huliiy ‘est achevé’) et dans la datation plus tardive que le Calendrier Rituel du Classique, la datation dite ‘FIN de katun’ » (note 6, p. 5).

[19] « Para obter víctimas, Tlacaélel había organizado las famosas « guerras floridas » con los cercanos señorios, también de lengua y cultura náhuatl, de Tlaxcala y Huexotzinco » (León-Portilla:48).

[20] On peut invoquer la même sorte de motivation dans les autres formes du zéro cardinal (couteau sacrificiel, miroir d’obsidienne, fleur ou coquillage) qui, de loin ou de près, pourraient renvoyer, comme la main du céphalomorphe du zéro, à l’idée d’achèvement (la mort est clairement un symbole de passage, transition, changement d’état).

[21] Comme Waldeck qui voyait des éléphants dans les glyphes de Palenque.

[22] La mathématicienne Guitel (1975) établit la limite à 160 000.

[23] « Según el sistema defendido por nuestro autor las operaciones serían todas dentro de un orden quinario, en el cual cinco rayas darian una unidad del orden superior, y cada posición equivaldría a 52 » (p.91).

[24] Nieto rappelle que Caramuel, né en 1606, est l’auteur d’une Mathesis Biceps, vetus
et nova
(Campaniae, 1670) considérée à l’époque comme « la más amplia y completa […] enciclopedia de las ciencias matemáticas publicada hasta entonces » (p. 88).

[25] Né en 1565, le père Ruiz pensait que beaucoup d’Indiens n’avaient pas développé
l’art de la numération et qu’ils n’avaient ni calcul ni arithmétique.

[26] Caramuel n’a vraisemblablement pas eu connaissance des travaux des tout premiers moines-ethnologues, comme par exemple le texte de Diego de Landa qui laisse bien voir le caractère vigésimal de la numération des Mayas « que su contar es de 5 en 5 hasta 20, y de 20 en 20 hasta 100, y de 100 en 100 hasta 400, y de 400 en 400 hasta 8 mil » (p.91).

[27] DD analyse effectivement les entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 13.

[28] DD distingue quatre principes : ordinal, qualitatif, quantitatif et complétude (p.
153).

[29] Dans le chapitre III (fig. 7, p. 50) Danièle Dehouve donne la plupart des représentations du zéro (cardinal) maya des codex et une image (inexacte) du zéro cardinal des monuments en forme de (demi-)fleur, mais elle ne montre pas le zéro cardinal céphalomorphe des monuments (celui dont elle parle pour un lien supposé avec le nombre cinq, celui qui présente effectivement une main sur la mâchoire inférieure).

André

Association d'Ethnolinguistique Amérindienne Professeur d'épistémologie et histoire des sciences

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Distinguer les dates mayas et les dates aztèques

Il est habituel de dire que les Aztèques (voire tous les Mésoaméricains) utilisaient un calendrier combinant deux cycles particuliers : 1) le calendrier divinatoire de 260 dates de la forme αX (13 numéros, 20 signes de jour), et 2) le calendrier de l’année vague solaire de 365 jours. Bien que 260 × 365 = 5 × 18 980, il est aussi habituel de dire que le produit ou calendrier résultant de la combinaison de ces deux cycles particuliers devrait toujours donner 18 980 dates.

A strictement parler, les documents aztèques précolombiens permettent seulement de dire que les Anciens Mexicains utilisaient le calendrier divinatoire de 260 dates et une année festive divisée en 19 périodes (18 mois de vingt jours et une période de n jours dits néfastes) dont les 360 + n jours ne furent apparemment jamais datés à l’écrit et avant l’arrivée des Espagnols. Par contre, les Aztèques datèrent les années festives à l’aide d’un calendrier de 52 dates d’années de la forme αXP  (13 numéros, 4 signes de jour). A s’en tenir aux sources précolombiennes, rien ne prouve jusqu’ici que l’année festive était une année vague comptant exactement 365 jours, et encore moins que le cycle de 52 xihuitl (le siècle aztèque, SA) comptait, comme le calendrier rituel maya, le CR,  exactement 18 980 jours.

Les Mayas n’utilisaient pas ce système de datation des années. Par contre, ils célébraient le retour des Porteurs d’années par des cérémonies et des processions sous les auspices du patron du jour de l’an – ha’ab, année vague solaire de 365 j – toujours daté 0 Pop. Cette date 0 Pop est toujours celle du premier jour de la première période (venant invariablement après la 19ème période, celle de cinq jours, Uayeb).

Le billet appelle l’attention sur la nécessité de distinguer les usages mayas et aztèques de l’écriture des dates ; et sur l’avantage qu’il y a à utiliser des transcriptions qui reflètent les oppositions pertinentes des sources anciennes (par ex. les Mayas n’ont jamais confondu le zéro ordinal des dates et le zéro cardinal des durées, pour cela, je transcris le premier 0 (en italique) et le second 0 (droit) ; je distingue de la même manière le nom de jour X, Imix par ex., et le nom de mois Y, Pop par ex. ; enfin les unités de mesure de temps sont soulignées comme tun ‘année de 360 j’ ou kin ‘jour’). Etant donné le nombre des langues mayas, leur évolution différenciée, et les différences de transcriptions que l’on peut observer, je propose, pour des raisons pratiques, d’utiliser une sorte de métalangage de traduction, grosso modo, le yucatèque transcrit en orthographe coloniale.

0.- Calendrier

En mesurant l’étendue, il [l’homme] découvre la géométrie ; en mesurant la durée, il découvre les nombres, et des deux inventions de son esprit, dès que le sentiment les anime, deviennent deux grands arts, qui sont l’Architecture et la Musique. Charles Blanc, Grammaire des arts du dessin, 1876, p. 55.

J’appelle calendrier (au sens strict) tout système (convenu, public) qui :

1)       discrétise le continu du temps en une suite de périodes de durées précisées (la suite peut être ouverte comme par ex. dans le Compte Long maya) ; toutes sortes de moyens sont attestés pour préciser les périodes (historiquement on observe surtout des durées précisées par leur mesure fixe ou variable, ou des durées définies par leur coïncidence avec des événements astronomiques convenus, voire des événements historiques)

2)       définit un ordre total sur les périodes (par ex., chez les Mayas: le tun ‘année’ et ses multiples vigésimaux), leurs parties (par ex. le uinal ‘mois’ de vingt jours, parfois aussi, dans les séries dites secondaires, la lunaison alternativement de 29 et 30 jours) et leurs éléments ultimes (le plus souvent, il s’agit du jour, kin chez les Mayas)

3)       attribue à chacun des éléments ultimes une date, c’est-à-dire une expression unique qui les distingue et les définit de manière univoque (ce qui permet de dater un événement ou les documents qui s’y rapportent en situant dans le temps le moment précis -au jour près- où il s’est produit ou se produira).

L’unicité demandée est du même type que l’unicité de l’expression du nombre par une numération de position. En numération décimale, par exemple, chaque nombre entier reçoit une expression unique, par exemple ‘trois’ ou ‘dix’ à l’oral et ‘3’  ou ’10’ à l’écrit. L’expression décimale de tout nombre plus grand que la base, par ex. ‘1789’, résulte de l’application d’un algorithme de division (par les puissances successives de la base dix) dont il est démontré (dans les Éléments d’Euclide, par ex.) que le quotient et le reste sont uniques.

Il en va de même, chez les Mayas, pour l’expression vigésimale des durées exprimées en tun ‘année’. A noter que, pour un puriste, l’expression en kin ‘jour’ peut exceptionnellement ne pas être unique  à cause de l’irrégularité du système des sous-unités, irrégularité liée au fait que l’année de compte n’a que 18 mois (et donc seulement 360 jours car le mois compte régulièrement 20 jours) : 1-tun = 18-uinal et non pas 20-uinal : du coup,  certains nombres admettent une variante systématique ; 365 par ex. peut s’écrire de deux façons, à savoir : habituelleent, 1.;0.5. ou, exceptionnellement, 18.5..

Tout locuteur compétent peut évidemment inventer mille et une façons d’exprimer un nombre sans recourir à la numération : par ex., le nombre 3 peut se dire « racine carrée de neuf », « successeur de deux », « différence de douze et trois », etc.

Les dates, par ex. « 1 Juin »  ou « 0 Pop« , sont uniques dans le même sens, bien qu’un locuteur compétent soit capable d’inventer mille et une façons de mettre en signes un repère temporel désignant le même jour : « début du 6ème mois », « premier jour du temps des cerises »; « jour de l’an », « premier jour du premier mois », etc.

Au sens strict de la définition, le ha’ab maya de l’époque classique est un calendrier (année vague solaire d’une durée invariable de 365 jours datés par 365 expressions, βY). Il discrétise le temps en 19 périodes immuablement ordonnées (de Pop à Uayeb) ayant chacune un nom propre et une mesure en jours, kin, (l’année compte 18 uinal ou mois de 20 jours, et une période de 5 jours dormants, Uayeb) ; enfin, il distingue et définit chacun des 365 jours de l’année vague par une expression unique, sa date, qui renvoie d’une part à l’une des 19 périodes Y, et d’autre part au rang β que le jour occupe dans cette période. Les jours se suivent comme nos 1 Janvier, 2 Janvier, etc. selon la loi :  » le suivant de βY est (β +1)Y tant que Y n’est pas fini, sinon c’est 0 (Y + 1) ».

Comme le ha’ab, le xihuitl des Aztèques divise l’année en 19 périodes mesurées en jours (certains auteurs donnent à penser que le retour des périodes était ajusté sur l’année des saisons, c’est-à-dire précisé par rapport à la course du Soleil, au cycle des travaux agricoles ou à celui des fêtes religieuses). Mais il ne remplit pas les autres critères. Par ex., le critère de l’expression unique et univoque n’est pas rempli parce que le xihuitl désigne les jours par leur date en calendrier divinatoire, lequel ne fournit que 260 étiquettes. Il y a donc au moins 105 jours qui portent la même date et que l’on ne peut distinguer qu’à l’aide d’autres éléments (comme par ex. l’un des 9 seigneurs de la nuit ou l’un des 13 oiseaux du jour).

1.- Dates mayas et aztèques

La façon de dater des Mayas de l’époque classique est différente de celle des Aztèques. Les Mayas utilisent une combinaison stricte de 4 cycles calendaires : 1) le Compte Long Σ(ci Pi) a priori ouvert et isomorphe à l’ensemble des entiers naturels, 2) le tzolkin de 260 dates αX, 3) le ha’ab de 365 dates βY et 4) le CR, Calendrier Rituel, de 18 980 dates (αX, βY). Outre l’année festive de 19 périodes − dont les jours semblent ne pas avoir été datés, mais seulement distingués et définis surtout à l’oral −, les Aztèques utilisent deux cycles. Le premier pour dater les jours, et le second pour individualiser les années : 1) le tonalpohualli de 260 dates αX, et 2) un cycle de 52 « dates[1] » αXP désignant chacune une année placée sous le ‘patron’,  ou le ‘porteur/éponyme’ XP

Remarque : on observe tardivement de rarissimes exemples de dates aztèques de type (αX, βY, αXP).

Jusqu’ici, les documents précolombiens n’ont livré aucune date aztèque de la forme βY distinguant – comme notre 1er Janvier ou le 0 Pop maya – les jours de l’année solaire par leur rang β dans leur période Y. Á partir de la Conquête espagnole, les Mésoaméricains furent contraints de suivre le calendrier européen et d’assister aux luttes entre catholiques et protestants. Elles se faisaient aussi par calendriers interposés : les catholiques suivaient plutôt le pape et sa réforme grégorienne. Les protestants étaient plutôt dans la réaction et pour l’ancien calendrier julien[2]. C’est dans ce climat polémique, et peut-être pour cette raison[3], que les Aztèques ont quand même laissé quelques énoncés (en caractères latins) racontant des événements mémorables pour les deux partis[4], et donnant leurs positions dans un maximum de calendriers ou cycles calendaires. Ce qui permet aujourd’hui d’inventer telle ou telle date βY, voire même de reconstituer un équivalent aztèque du CR maya. R. Tena le dit clairement dans Arqueología mexicana (vol.VII, n° 41), et le prouve en créant les dates aztèques des 366 j de l’an 2000[5]:

Las fuentes históricas nos proporcionan el dato básico de que los españoles que acompañaban a Hernán Cortés entraron a la ciudad de México-Tenochtitlan el martes 8 de noviembre de 1519 correspondiente a la fecha indígena: día 8 ehécatl, noveno de la veintena de quecholli del año 1 acatl (Tena;2000:10, c’est moi qui souligne en gras).

Bien qu’à ma connaissance, aucun document ne comprend ensemble les dix informations suivantes, cet exemple emprunté à Tena montre que Cortés entra dans Mexico le mardi 8 Novembre 1519, un jour 8 Ehecatl (almanach αX de 13 × 20 jours) 9 Quecholli (année βY de 18 × 20 + n jours) de l’année 1 Acatl (siècle aztèque αXP  de 13 × 4 ans). La clarté apparente de ces exemples cache la quasi impossibilité, sans hypothèses invérifiables, de reconstruire les dates βY et faire concorder les dates aztèques (αX, αXP), mayas (αX, βY) et européennes jj/mm/aaaa[6].

L’absence d’exemples non-mayas de dates CR indique que l’habitus de combiner en un seul calendrier les dates αX et βY ne s’était pleinement développé que chez les Mayas du Classique. Ce qui conduit à l’idée que les Aztèques n’étaient pas en condition de coordonner ‘au jour près’ la course de leur cycle de 260 (tonalpohualli) jours et de leur année (xihuitl) de 19 périodes, et donc de produire un calendrier qui aurait compté, comme le CR maya, exactement 18 980 dates (αX, βY).

2.- Façon maya d’intégrer des dates et des équations calendaires  dans du texte glyphique

Les textes mayas sont émaillés d’équations calendaires qui relient entre elles un nombre important de dates et de durées, des chaînes d’équations de la forme [4 Ahau 8 Cumku] + Σ(ci Pi) = (αX, βY) + Σ(ci Pi) = (αX, βY). Le scribe maya pouvait ainsi dérouler au jour près l’histoire d’une cité, d’un dirigeant ou d’un épisode mythologique et mettre cette histoire en relation avec toutes sortes de cycles naturels – par exemple le cycle des phases de la Lune ou de la planète Vénus – ou culturels comme par ex. le cycle des Kauil.

Soit les équations des panneaux 29, 30 et 31 de Yaxchilan (Chiapas, Mexique). Ces panneaux contiennent en particulier un exemple rare d’une inscription enregistrant le début d’un cycle de 819 jours du Kauil (F4) en date 1 Ben 1 Ch’en atteinte par la translation rétrograde -1.1.17. depuis la date initiale du 9-baktun 13-katun 17-tun ; 12-uinal 10-kin en Compte Long et 8 Oc 13 Yax en Calendrier Rituel :

3.- Façon aztèque d’intégrer du texte pictographique dans des chaînes de dates

Les documents aztèques contiennent des chroniques consignant des listes d’années successives (pouvant couvrir plusieurs centaines d’années) et leur associant les événements marquants. Par exemple, sur cet extrait du codex Telleriano-Remensis, on voit un changement de roi (mort de Chimalpopoca et intronisation de Itzcoatl en l’année 12 Tochtli), et on observe une suite de seize années : 10 Tecpatl 1424, 11 Calli 1425, 12 Tochtli 1426, 13 Acatl 1427, 1 Tecpatl 1428, 2 Calli 1429, 3 Tochtli 1430, 4 Acatl 1431, 5 Tecpatl 1432, 6 Calli 1433, 7 Tochtli 1434, 8 Acatl 1435, 9 Tecpatl 1436, 10 Calli 1437, 11 Tochtli 1438, 12 Acatl 1439 :

Parfois, par ex. dans le codex Mendoza, un signe (foret à feu) signale les 52èmes années du cycle dit siècle aztèque, SA, et indique qu’elles furent des années de célébration du Feu nouveau (ou Ligature du faisceau de 52 ans). Sur la figure ci-contre, le foret à feu signale l’an 2 Acatl (1401) entre les années 1 Tochtli et 3 Tecpatl :

Comme on le constate, les 52 années du SA, et les 260 jours de l’almanach sont désignés par des couples formés d’un entier et d’un nom de jour. Dans le meilleur des cas, on distingue les αX de jours et les αXP d’années par le fait que les derniers sont habituellement entourés par un cartouche carré et que leur nom XP ne prend que 4 valeurs possibles, alors que les premiers n’ont pas de cartouche et un nom X qui prend 20 valeurs.

 


[1] L’année est distinguée par l’expression αXP  qui est la date du jour convenu éponyme de l’année en question.

[2] C’est l’époque où Sahagun et Landa écrivent, sans preuves ni exemples, que les Autochtones font la correction bissextile.

[3] Sans oublier le fait que les calendriers aztèque et julien/grégorien des jours de l’année – datés βY et jjmm – ont la même structure d’ordre mais des formules numériques différentes (18 × 20) + n, et (12 × 30) + 5 devenue 12 × 28/29/30/31).

[4] Dans El calendario mexica y la cronografia (2008:45-50), Tena en a relevé trois (arrivée de Cortés à Mexico, triste nuit et chute de Mexico) datés en grégorien et donnant en alphabet latin l’indication de la date βY.

[5] L’an 2000 aurait commencé le 9 Calli 10 Atemoztli de l’an 13 Acatl et ill aurait fini le 10 Tochtli 10 Atemoztli de l’an 1 Tecpatl. Le 14 Juillet serait tombé un 9 Tecpatl 20 Tecuilhuitontli de l’an 1 Tecpatl (11 Kan 0 Xul en CR maya et constante 584283).

[6] Le problème est posé dans ‘Des Porteurs mayas aux éponymes aztèques’ (Cauty;2010) en ligne à l’adresse :

http://celia.cnrs.fr/FichExt/Etudes/Maya/Cauty_DatesAnneeVague.pdf ).

André

Association d'Ethnolinguistique Amérindienne Professeur d'épistémologie et histoire des sciences

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NAHB : un classificateur mesure. Mais mesure de quoi ?

Les documents mayas contiennent des milliers de mesures, mais il s’agit de mesures de temps intervenant en tant que classificateurs numériques (ClMES, Classificateur MESure) dans l’écriture des durées, par exemple dans le Compte Long 9-baktun 13-katun 17-tun ; 12-uinal 10-kin ou le nombre de distance 17-[kin]-1-uinal ; 1-tun[1]  des panneaux 29, 30 de Yaxchilan.

Un possible exemple précolombien de mesures de longueur a été rapporté par Marc Zender dans le cadre d’une étude des glyphes intervenant dans un domaine d’expérience typiquement mésoaméricain, celui des jeux de balle[2].

Déchiffrée NAHB, et prononcée -nahb en tzeltal moderne, l’unité[3] en question serait un classificateur mesure, un empan[4] selon Zender, et littéralement une « paume » selon Hoppan (communication personnelle) :

There can be little doubt that these forms are related, for all are the expected reflexes of an ancestral form *nahb ‘handspan’. This finds further support in the morphology of numerical classifiers, which are typically derived from positional and transitive roots through the infixation of –h– […] the Yucatec term náab (< *nahb) ‘handspan’ may itself have been derived from the transitive verb nab ‘place near, lay aside’ via historical infixation of –h– (Zender;2004:150).

 

Comparant des sources coloniales et contemporaines, Zender fixe la valeur de l’empan à 8.5 pouces :

 

While not all of the lexical sources agree on the precise manner in which this measure was taken, it is intriguing that the Colonial Yucatec and modern Itzaj sources agree in equating the nahb measure to about 8 or 9 inches (21-23 cm). If we accept a median measure of 8.5 inches, we can quickly calculate the circumference and the diameter of the ball sizes encountered in Maya art (id)

 

Selon Nicholas Hellmuth cité par Zender, l’usage du logogramme NAHB est attesté dans les scènes de jeux de balle où, précédé d’un entier en style point/barre, il sert à « étiqueter » la grosse balle de caoutchouc plein :

 

The large balls typical of Classic ballgame scenes were frequently labelled with a complex compound composed of a prefixed set of bar-and-dot coefficients followed by somewhat more variable elements […] Hellmuth supposed that the compound might refer to the ‘final score’ of the game depicted (id. 149).

 

Le paradigme des coefficients relevés par les savants est P = {9, 10, 12, 13, 14} :

 

Importantly, they also noted that the numerical coefficients were limited to the numbers 9, 10, 12, 13 and 14. This restriction to a small set of coefficients […] led them to doubt Hellmuth’s suggestion that they recorded a score. Instead, they proposed that the coefficients may have referred to the number of ‘captives’ or ‘human sacrifices’ at stake in the game […]. There are problems with this interpretation as well, but suffice it to say that the na-ba spellings remain unexplained in their hypothesis, and many scholars still consider the term undeciphered (ibid.)

 

Ayant fixé la valeur en pouces (et en centimètres) de l’empan NAHB, Zender peut calculer les dimensions[5] (diamètre et circonférence) de toutes les balles étiquetées n-empans. D’où le tableau de la page 150 :

 

No. of Handspans Circumference Diameter

9

76.5 inches (194.3 cm) 24.4 inches (61.9 cm)

10

85 inches (215.9 cm) 27 inches (68.7 cm)

12

102 inches (259 cm) 32.5 inches (82.5 cm)

13

110.5 inches (280.7 cm) 35.2 inches (89.3 cm)

14

119 inches (302.3 cm) 37.9 inches (96.2 cm)

 

Les dimensions de la balle fournies par ce tableau semblent très grandes. Zender n’en est pas dupe puisqu’il explique que les tailles obtenues correspondent aux impressions visuelles que provoquent les figures qui montrent simultanément une balle et un joueur (ci-contre, le diamètre 12-nahb de la balle qui descend l’escalier couvrirait la longueur allant du sommet de la tête à la ceinture du joueur).

Mais, une balle pleine de caoutchouc et de cette taille[6] serait beaucoup trop lourde pour être soulevée par un homme seul[7]. Par ailleurs, tant les balles actuellement en usage dans les rares jeux modernes de ulama que les balles anciennes découvertes par les archéologues sont nettement plus petites[8] (diamètre de 4 cm à 22 cm, et poids maximum de l’ordre de 6 kg). On ne peut donc pas accepter la partie de la conclusion relative à la dimension des balles, et, par conséquent, la question de savoir ce que mesure vraiment l’étalon NAHB n’est pas encore résolue.

Ce qui n’invalide pas le travail de Zender. En tout cas, pas la principale conclusion de sa démonstration que nous pouvons admettre, sauf preuve du contraire. La conclusion affirme que le composé n-NAHB, n élément de P, fait spécifiquement référence à la balle elle-même. Comme l’affirme Zender : « the ‘nine handspan (ball)’ is itself the namesake of the ‘rubber ball’ and ‘rope’ of king » à la suite de la lecture (et de la traduction) de deux propositions du panneau 2 de La Amelina, dont voici la 1ère :

ya-la-ja U-CHAN-na BAHLAM-NAL U-K’ABA-a 9-na-ba

yahlaj uchan bahlamnal uk’aba’baluun nahb

is thrown, the Master of Bahlamnal, (which is) the name of the nine-handspan (ball)

Jean-Michel Hoppan (communication personnelle) m’invite à observer la forme de la main dans le logogramme NAHB et me fait remarquer que cette main « paraît épouser
quelque chose de rond plutôt que de mesurer une droite ». Une autre valeur de l’étalon NAHB pourrait être testée à partir du fait que le mot désigne littéralement une paume, et que la paume, plus encore que l’empan, a très souvent été utilisée dans de nombreuses cultures comme mesure de longueur (droite ou courbe) valant généralement, et pour des raisons anatomiques, 4 doigts (ou 3 pouces). On pourrait alors proposer la conjecture Cauty-Hoppan posant que l’unité NAHB désigne la longueur d’une paume, une longueur de l’ordre de 8 cm. Cette valeur correspond notamment à l’estimation donnée par Danièle Dehouve pour l’unité aztèque correspondante − macpalli  ‘paume’ − dont l’équivalence dans le système métrique irait de 0,07 m à 0,09 m (Dehouve;101).

Dans cette hypothèse, le rayon de la balle 12-NAHB, c’est-à-dire de la balle moyenne dont la circonférence mesure 12 paumes (et non pas 12 empans),  serait de l’ordre de 15 cm et son poids d’environ 14 kg. La balle 9-NAHB aurait un poids a priori plus réaliste d’environ 6 kg. En tout cas, on comprend mieux l’iconographie et les objets qui représentent toujours les joueurs portant de fortes protections, notamment au niveau de la ceinture.

 

Références

Dehouve, D., 2011, L’imaginaire des nombres chez les anciens Mexicains, Presses de l’Université de Rennes, 283 p.

Zender, M., 2004, ‘Glyphs for “Handspan” and “Strike” in Classic Maya Ballgame Texts’, The PARI Journal. A Quarterly publication of the Pre-Columbian Art Research Institute, Vol. IV, N° 4, p. 148-156.

En ligne à l’adresse : http://www.mesoweb.com/pari/journal/archive/PARI0404.pdf

 


[1] Dans l’écriture moins redondante des codex, le scribe ne notait pas les classificateurs mesures. Dans ce contexte, ils peuvent donc être dits « sous-entendus » ou « marqués par la position ».

[2] « Classic Maya kings and nobles played ball in guise of their tutelary gods as a powerful means of reiterating and reifying the founding of the polity » (Zender:151)

[3] « medida del pulgar al dedo del corazón » selon Slocum et al. (1999:80,318) in Zender (p.151).

[4] Unité de mesure de longueur correspondant à l’intervalle compris entre l’extrémité du pouce et celle du petit doigt dans leur plus grand écart. Iztetl, chez les Aztèques, l’empan aurait été «  le plus petit et le plus courant dénominateur commun aux mesures longitudinales, si on lui accorde une valeur de 0,20835 m : une ‘coudée’ est alors égale à 2 empans, une ‘aisselle’ à 3 empans, un ‘cœur’ à 4 empans, une ‘flèche’ à 6 empans, une ‘brasse horizontale’ à 8 empans et une ‘brasse verticale’ à 12 empans (Dehouve;2011:103).

[5] Zender n’a apparemment pas envisagé la possibilité d’autres lectures ou d’autres types de mesures, comme par exemple : le poids, la masse, le volume, la dureté, la valeur, etc.

[6] « If these measurements are valid, then the Classic Maya ballgames balls would have measured from just two feet to well over three feet in diameter (62 to 96 cm), with an average of 2.5 feet or about 80 cms » (id. 151).

[7] Sachant que la densité du caoutchouc varie de 0.92 à 0.99 et que le volume d’une sphère est égal aux 4 tiers du produit de p par le cube du rayon, le lecteur pourra facilement évaluer le poids des balles retenues dans le tableau de Zender.

[8] Pour une première approche : http://en.wikipedia.org/wiki/Mesoamerican_rubber_balls#cite_ref-8.

André

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Le site Intelligence Arithmétique maya

des articles, des diaporamas, des images vous attendent sur le site d’André Cauty :

http://www.wix.com/pauahtun/site-du-dr-andre-cauty

dans la section BONUS, le dernier article – Zoom sur le symbolisme guerrier de macuilli ‘cinq’ – contient en particulier une synthèse sur les deux zéros mayas

http://media.wix.com/ugd/3ae064_bc6d034b84f726784452bc6ef6fe7fd4.pdf?dn=Zoom+sur+Danièle+Dehouve+deuxième++envoi.pdf

André

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Rêveries de Teotihuacan

Rêveries sur la planification numérique de Teotihuacan[1]

1.- Des Occidentaux à la recherche du nombre d’or

Une contrainte naturelle (écologique) semble faire que le nid des oiseaux, la tanière ou le territoire des renards présente des dimensions accordées à leur taille, à la longueur de leurs membres ou aux quantités de ressources et de prédateurs dans leur environnement. Il en va sans doute de même chez l’homme, à ceci près qu’il se contente rarement (pour ne pas dire jamais) des accords imposés par dame nature et par la fonction utilitaire des choses taillées à sa mesure. Car cet ‘animal politique’ – social et parlant en langues naturelles – est pétri par le double besoin de dévoiler[2] ces accords et de leur donner sens dans la diversité de l’hic et nunc des cités qu’il (se) construit. L’urbanisme et l’architecture montrent bien, me semble-t-il, combien les hommes découvrent et savent jouer avec les accords et les contraintes imposés ; d’un autre côté, les archéologues et les ethnolinguistes de terrain montrent, dans leurs efforts de la traduire jusqu’à nous, l’exubérante richesse de la palette des sens et des valeurs symboliques enfouis dans les cités humaines. Est-il possible, alors que les bâtisseurs et les usagers sont morts depuis longtemps et que leurs langues se sont éteintes ou transformées, de lever, ne serait-ce qu’un peu, le secret des paroles perdues qui leur donnèrent les sens et les valeurs quand ils étaient encore en usage dans leur coin d’espace/temps ? La réponse théorique est simple. C’est NON. Car le dévoilement du sens se fait dans le face à face et à condition qu’il existe un écart, à la fois suffisant et pas trop grand, entre les VOULOIR DIRE des propos d’un JE et les FAIRE DIRE d’un TU aux mêmes propos échangés a priori dans la même langue. La réponse pratique est plus complexe.

Appelons réponse pratique, tout processus réfutable susceptible de faire parler les données disponibles. Une réponse pratique délimite des champs de significations et les distribuent en classes d’impossibles, possibles, probables, certains, conformes aux données d’expériences (notamment de pensée)… Elle peut être reconstituée chaque fois par ex. que les anciens bâtisseurs ont laissé des écrits consignant explicitement ou implicitement tout ou partie des significations qu’eux-mêmes donnèrent à leurs œuvres, et qu’une équipe d’épigraphistes doublés de traducteurs peut plus ou moins laborieusement faire revivre. Examinons un problème encore plus simple : établir, de manière réfutable, que la disposition[3] ou les dimensions d’une œuvre[4] étaient planifiées et significatives, puis reconstruire[5] à partir de là les champs de significations possibles. Notre postulat est que l’homme des cités ne reste pas sous le régime des contraintes imposées par la nature et qu’il donne toujours plus ou moins volontairement des positions et des proportions particulières à chacune de ses œuvres : pièce, habitation, lieu de culte, lieu de production, tombeau, palais, rue, quartier, cité, etc. Bref, des proportions qu’il voulait faire parler pour dire et redire indéfiniment des milliers de sens qui fluctuent au gré des situations et des rencontres dans l’espace/temps individuel et social tant profane que sacré.

Un début de réponse vient d’une observation. Une façon très archaïque de faire parler accords et proportions constatés consiste à les rapporter au corps et à ses parties[6] ; si bien que ce n’est certainement pas par hasard que, depuis quelques millénaires et pratiquement partout, les mesures de longueur et les rapports qui les métamorphosent en système renvoient à une foison de données anthropométriques le plus souvent liées entre elles par des rapports numériques simples[7] exprimés par de très petits entiers naturels[8]. L’homme est la mesure de toutes choses disait déjà Protagoras (485-411 av. J.-C.) en omettant toutefois de préciser que le vivre ensemble dans la cité est incompatible avec le relativisme apparemment absolu que l’on devine impliqué par ce propos, l’idée que chacun voit et juge le monde à sa manière, sans se préoccuper du regard ou des besoins des autres.

On trouve, par ex. dans l’antiquité européenne[9], des systèmes (ou des traces de systèmes) où 1 paume fait exactement 4 doigts et/ou 3 pouces ; ce qui conduit à diviser par 12 et à regrouper en paquets de 12. Il suffit de jouer avec son corps pour découvrir de tels rapports simples, même si l’on est incapable de les dire ou de compter plus loin que 5. De tels constats conduisent rapidement les hommes à utiliser des ensembles d’unités reliées entre elles par des règles simples de subdivisions et d’arrangements, et, simultanément, à développer la numération et le calcul. On trouve aussi, toujours dans l’exemple de l’espace européen, des numérations parlées dont les mots numériques renvoient, selon les linguistes, à des pratiques d’énumération et de comptage sur les doigts des mains ; le fait d’avoir 2 mains de 5 doigts conduit alors à faire plutôt des nœuds de 10.

Les rapports numériques simples sont bien adaptés aux approches pratiques de la mesure, et ils offrent un support souple et rapidement familier pour la production symbolique. Sans aller jusqu’à dire que tout est dans le nombre, on peut poser que : partout où se développèrent des Cités, métrologie et numération se donnèrent la main et œuvrèrent ensemble aux fondements d’une civilisation en train de naître. Une fois la cité établie, les nombres et les mesures continuent de tenir leur place et à s’engager sur un nombre croissant de fronts : politique, symbolique, religieux, économique… Chez les Mayas, ils furent essentiellement au service du repérage des dates et à celui de la mesure des durées, c’est pourquoi ils semblent tellement bien adaptés à la compréhension et au contrôle du temps profane et religieux de la vie dans la cité, à celle du temps astronomique et sacré de la geste du Soleil (voire de la Lune et des planètes), et à celle du temps astrologique et fondateur des récits mythologiques.

On sait par ailleurs que les anciens Grecs cherchaient la beauté dans l’harmonie des proportions, notamment celles des parties du corps qui leur ont fourni un grand nombre d’unités de mesures de longueur[10] et des rapports qu’elles entretiennent entre elles. L’insistance à chercher des proportions harmonieuses semble inhérent à la civilisation grecque et s’observe dans de nombreux domaines : en mathématiques, en architecture, dans la sculpture… et perdure jusque dans nos classes (qui n’a jamais entendu parler du théorème de Thales). Un autre mathématicien, Pythagore (580-495 av. J.-C.), a largement influencé la mentalité grecque malgré l’ésotérisme de son école de pensée basée sur les nombres entiers[11] et leurs rapports. La tentation grecque, que l’on observe chez certains zélotes, est le désir de prétendre contempler le beau en découvrant toujours et partout les mêmes rapports, voire toujours la même et unique proportion[12]. Depuis l’Antiquité, ce désir fanatique prend souvent la forme du nombre d’or[13], réputé définir la divine proportion voire peut-être le chiffre du corps harmonieux[14].

Connaître le/les sens procure un pouvoir certain, car il permet de guider et d’interpréter les processus de production. Dans la construction, la connaissance et la maîtrise des (bons) rapports permettent de garantir le (bon) déroulement des (belles) constructions depuis l’élaboration des plans d’architecture jusqu’à leur mise en œuvre sur les chantiers (par divers corps de métier). C’est pourquoi il tend à être confiné dans un cercle étroit d’initiés qui s’en font un secret (le secret est par essence oligarchique). Bien qu’il faille laisser entendre qu’on le possède, ce n’est pas un secret de Polichinelle [15]. Bien sûr, de temps à autre, tel ou tel initié trahissait son serment de silence et violait le secret donnant ainsi au public un accès aux techniques en lui révélant quelque clef, par exemple la valeur ou une représentation du nombre d’or des mathématiciens[16]. Quoi qu’il en soit, au hasard des initiations et des trahisons, le nombre d’or re-brille de tous ses feux ou retombe, tour à tour, dans l’oubli.

Célèbre sous le nom de Le Corbusier, l’architecte et urbaniste Charles-Édouard Jeanneret (1887-1965) fut au 20ème siècle le champion de la quête de ce graal particulier : ses choix architecturaux partent toujours de l’homme « cet animal qui doit pouvoir s’ébrouer tout à son aise dans l’espace de sa maison ». Par jeu ou par conviction, Le Corbusier usera et abusera du nombre d’or. Il est donc omni-présent dans les œuvres de Le Corbusier. On n’en trouve pas les occurrences en se livrant à des mesures, mais en lisant les textes écrits ou en écoutant les conférences tenues par l’illustre architecte. C’est comme cela que l’on sait que Le Corbusier considéra une numération de position de base φ. La numération obtenue présente quelques particularités : par ex., les écritures 100 et 10 + 1 désignent le même nombre (on peut d’ailleurs définir le nombre d’or comme la racine positive de l’équation φ2 = φ + 1). Le Corbusier matérialisa ses expériences de pensée mathématiques en une sorte de gabarit attaché à la silhouette d’un homme debout, le bras levé. Appelé Modulor (Module + Nombre d’or), cet instrument relie visuellement diverses dimensions – par ex. celles du corps d’un homme d’un mètre quatre-vingt-trois et celles d’une habitation de deux mètres vingt-six de plafond – que Le Corbusier réunit par le truchement du nombre d’or : le rapport par ex. entre la taille et la hauteur du nombril (1829/1130 = 1,619) ou encore le rapport entre les distances du plan de travail au sol et au plafond (1397/863 = 1,619). Quel que soit l’étalon convenu et quelle que soit la précision des mesures, selon que l’on est, ou non, mathématicien, le rapport 1,619 calculé est, ou n’est pas, le nombre d’or. L’intention de l’architecte apparaît plus clairement lorsque l’on observe, en ordonnant les mesures du Modulor, qu’elles furent organisées en deux suites (an) et (2an) de Fibonacci (un+1 = un + un-1) dont voici un extrait :

Ouvrons une parenthèse épistémologique. Le nombre d’or n’a pas été découvert dans les bâtiments signés Le Corbusier en envoyant des étudiants anthropologues sur le terrain, leur faire mesurer tout ce qu’ils peuvent, former mécaniquement tous les couples de mesures possibles, en faire les quotients, jusqu’à trouver au moins un couple de mesures (mi, mj) tel que mi / mj soit proche de φ (par ex. proche de 8/5 =1,6). Suffisamment proche pour que l’on puisse s’écrier « eurêka ! le nombre d’or vient d’être découvert ». Faut-il préciser que cette méthode de découverte est ‘infalsifiable’ (et donc non scientifique au sens de Popper) car elle conduit immanquablement à la découverte désirée, une approximation du nombre d’or[17]. A l’auberge espagnole on mange ce que l’on apporte. La méthode est absurde : φ = (1 + √5) / 2, est un réel irrationnel contrairement aux approximations décimales et aux fractions obtenues qui, elles, sont des nombres rationnels. La présence du nombre d’or dans les œuvres de Le Corbusier est pourtant réfutable (et donc scientifiquement acceptable) et même démontrée. Démontrée, parce que Le Corbusier a joint au Modulor une figure géométrique qui donne à voir au lecteur une construction géométrique classique de deux segments dont le rapport des longueurs est le nombre d’or. Voici le schéma de la construction.

On trace un carré de côté b, on joint le milieu de son côté bleu à l’un des deux sommets opposés. On trace un arc de cercle ayant pour centre le milieu du côté bleu et pour rayon le segment que l’on vient de tracer en pointillés. Cet arc coupe le prolongement du côté bleu, et le point d’intersection définit un grand segment bleu de longueur a. Le théorème de Pythagore et un calcul simple démontrent que le quotient a/b est égal à (1 + √5) / 2 c’est-à-dire au nombre d’or φ. Le rectangle est dit rectangle d’or. La présence du nombre d’or est réfutable par l’expérience dès lors qu’il est établi que les proportions de certaines constructions furent effectivement définies au Modulor[18].

Les mesures convenues par Le Corbusier prennent donc triplement sens et nous disent au moins trois choses en ceci qu’elles mettent en scène le nombre d’or ou les termes d’une suite de Fibonacci et qu’elles mettent ces éléments en correspondance, d’une part, avec les parties du corps humain et, d’autre part, avec les parties de l’habitation. Pour toutes les œuvres planifiées au Modulor, on peut dire en toute rigueur que l’homme en est, dans toutes ses parties et proportions, la mesure ; et ceci n’est pas une glose épilinguistique, mais une famille de paraphrases métalinguistiques.

En termes d’urbanisme, le Modulor est un outil de normalisation et de rationalisation de la production et de la recherche esthétiques. Un outil qui permet d’éviter de nombreux calculs fastidieux. Du coup, les unités successives de la numération de base φ possède tous les atouts du système métrique décimal imposé par les révolutionnaires de 1789 : il est abstrait, il s’applique à tout et les calculs sont d’une grande simplicité. Mais il s’en distingue parce que ses unités se correspondent dans des proportions qui ont et font sens, comme c’était le cas des anciens systèmes de mesures (pouce, paume, empan, pied, etc.), dont il évite l’inconvénient majeur (lourdeur des calculs et quasi impossibilité de rendre commensurables les mesures faites ici ou maintenant et les mesures faites là ou jadis). Fin de la remarque épistémologique.

2.- De la difficulté de se mettre dans la peau et l’esprit des bâtisseurs de cathédrales ou de cités disparues

La rencontre de l’autre est toujours mystérieuse et difficile. La difficulté devient énorme lorsque l’autre est un bâtisseur français du moyen âge qui n’a rien laissé en dehors d’une construction, église ou cathédrale par ex., qui elle-même a subi les outrages du temps et souvent des modifications plus ou moins importantes, et dont le chantier a pu s’étaler sur plusieurs siècles au cours desquels les connaissances et les techniques ont évidemment évolué[19]. Comment aborder aujourd’hui l’étude d’un bâtiment alors qu’il est si difficile de se plonger en esprit dans les conditions de vie et de savoir d’un homme de l’époque médiévale. Peut-on se défaire des connaissances et des techniques accumulées depuis cette époque et qui nous sont devenues familières comme une seconde nature ? Est-il possible de raisonner en oubliant notre système métrique décimal et nos algorithmes de division afin de nous permettre de nous approprier au moins une partie des notations, des systèmes et des instruments de mesures ou de calculs de cette époque révolue ? La difficulté est encore décuplée lorsque l’œuvre du passé que l’on cherche à comprendre est le fait de bâtisseurs d’un autre univers culturel, un bâtisseur maya de pyramide ou de jeu de balle, un maître d’œuvres d’un palais cambodgien…

Danièle Dehouve présente en une page environ un résumé des recherches de Sugiyama (2005) sur la ville de Teotihuacan dont l’objectif est d’étayer la thèse que c’est un exemple de « cités monumentales spatialement arrangées selon des codes cosmologiques » (p. 113) comme « la quadripartition du Cuzco faisait de la capitale un microcosme de l’empire et une métaphore de l’univers » (id.) et de montrer qu’il est possible, en passant par la mise en évidence d’une planification numérique délibérée, « de retrouver le plan d’organisation de Teotihuacán et d’en déduire la signification de sa géographie sacrée » (ibid.).

Selon DD, Sugiyama commence par se demander quelle fut l’unité de mesure employée par les bâtisseurs de Teotihuacan. Pour répondre, il mesure la largeur de la balustrade de la pyramide du Serpent à plumes et trouve 1,66 m. Il induit de ce résultat que l’unité utilisée au cours de la construction de la pyramide était 0,83 m. Il vérifie en mesurant les distances entre les points principaux de la cité et en constatant dans une sorte d’ eurêka qu’il obtient des multiples « ronds » de 0,83 m : à savoir : 830 m = 1000 x 0,83 m, 1 660 m =2000 x 0,83 m et 3 320 m = 4000 x 0,83 m. D’où la définition par Sugiyama d’une nouvelle unité de longueur notée TMU (pour Teotihuacan Measurement Unit) correspondant à 0,83 m et dont DD précise « comme on l’a vu, cette unité de mesure était hautement significative chez les Aztèques qui lui donnaient le nom de ‘cœur’ » (ibid.).  Quelques lignes plus loin, on apprend que la base de la pyramide du Soleil est un carré de 260 TMU, que plusieurs bâtiments mesurent 520 TMU, et que la Ciudadela mesure 584 TMU. Un « eurêka » final ne tarde pas : « A partir de ces constatations, Sugiyama conclut que l’espace sacré urbain a été planifié en recourant à des nombres calendaires »[20] (ibid.). La preuve de la planification est donc la découverte de rapports distingués par le fait qu’ils s’expriment en nombres ronds[21] et/ou ‘calendaires’. Le texte passe ensuite à des considérations liées à la théologie. Par ex. le nombre 584 trouvé à la Ciudadela fait dire qu’elle « porte la marque numérique du cycle vénusien et figure donc le début du monde et du temps, en accord avec les mythologies selon lesquelles le serpent à plumes Quetzalcoatl symbolisant Vénus s’est rendu dans l’ inframonde pour lutter contre les dieux de l’Obscurité et en est revenu en tant que héros civilisateur » (ibid.). Quelques remarques épistémologiques s’imposent. L’auteur part du postulat que les bâtisseurs de Teotihuacan étaient contraints, pour quelque raison non dite que ce soit, d’employer des nombres simples afin que les diverses distances soient exprimées/exprimables comme des multiples ronds d’une certaine unité qu’il prétend retrouver. Admettons ; et appelons module cet hypothétique étalon. Loin d’essayer de se mettre dans la peau du bâtisseur mésoaméricain, Saburo Sugiyama, SS, choisit une balustrade, la mesure, donne le résultat en système métrique, le divise par deux et décrète que c’est le module cherché, la TMU, finalement définie en référence à notre système métrique : 0,83 m. Cette façon d’opérer est fondamentalement ambiguë puisque, dans le seul ouvrage de DD, le même module est respectivement défini égal à : 0,8334 m (Dehouve, qui partage par 5 la largeur de 4,17 m d’une pierre monumentale), 0,8359 m (Clark) et 0,90 m (Alonso). Imaginons qu’un chercheur décide de diviser par 6 la longueur de la balustrade de SS, il aurait trouvé un autre module, l’unité TMU2, définie par la valeur 0,2767 m qu’un esprit facétieux pourrait identifier au ‘pied’ en usage chez les Espagnols (Clark a identifié son module de 0,8359 m à la vara espagnole[22]). Sauf celle d’ Alonso en nombre rond, toutes les identifications de module sont proposées avec une précision allant jusqu’au dix-millième (en l’occurrence jusqu’au dixième de millimètre pour un module de près d’un mètre). Les auteurs cités ne prennent pas conscience du fait que l’écriture décimale peut introduire des biais : mettre beaucoup de chiffres après la virgule donne à croire que l’on distingue et définit clairement un objet numérique unique ; mais c’est faux car les mesures ne donnent jamais LA valeur, mais un INTERVALLE de confiance dans lequel elle doit se trouver, et dont la dimension ne peut pas être convenue arbitrairement. C’est pourtant ce qu’ils font en augmentant à leur guise le nombre des chiffres après la virgule ou le nombre de chiffres significatifs[23]. L’écriture décimale est une représentation qui permet de couper de plus en plus finement les cheveux en quatre ; ce qui n’a vraisemblablement aucun sens pour un Mésoaméricain de l’époque de la construction de Teotihuacan. Elle conduit, par contre, un Français de 2011 à ouvrir les yeux sur le fait que les valeurs numériques des distances en TMU séparant les points principaux de la cité de Teotihuacan n’ont pas la pertinence que SS et DD leur accordent. Dressons pour le voir le tableau de leurs expressions dans tous les autres modules connus, à savoir M1 = 83,34 cm, M2 = 83,59 cm et M3 = 90,00 cm respectivement définis par les autres chercheurs cités par DD et, pour faire bonne mesure, le module M4 = 27,67 cm (pseudo pied espagnol) :

 mètre

 TMU

M1

M2

M3

M4

215,80

260

259

258

240

780

431,60

520

518

516

480

1560

484,72

584

582

580

539

1752

830,00

1000

996

993

922

3000

1660,00

2000

1992

1986

1844

5999

3320,00

4000

3984

3972

3689

11999

Ce tableau des distances entre les « points principaux de la cité » exprimées en mètre, TMU et modules Mi disponibles montre que seules les expressions en TMU fournissent des nombres parlants de deux types : a) des nombres parlants pour un Mésoaméricain que DD qualifient de « nombres calendaires » comme 260, son double 520, et 584, et b) des nombres parlants pour SS et DD et qualifiés de « nombres ronds » comme 1000, 2000 et 3000. On doit ici observer que ces nombres sont parlants pour qui utilise la numération décimale de position laquelle n’était ni connue ni utilisée, pas même par les Mésoaméricains qui maîtrisaient le principe de position car ces derniers utilisaient la base vingt[24]. Les nombres obtenus avec les autres modules ne sont pas parlants, même si on sait que les subtiles manipulations des numérologues pourraient leur faire dire n’importe quoi, mais pas ce que l’on attend d’eux ici : 240, 250 et 259 par ex. ne sont pas, le nombre de l’almanach divinatoire, de même 539, 580, et 582 ne sont le nombre de Vénus. Cette fin de non recevoir devrait être encore plus radicale dans le cas des études qui ne sont pas conduites en nombres entiers[25] et qui poussent les définitions et les calculs loin au-delà de la virgule ou qui utilisent des nombres à beaucoup (trop !) de chiffres significatifs :

 mètre

 TMU

M1

M2

M3

 M4

215,80

260,000000

258,939285

258,164852

239,777778

779,906035

431,60

520,000000

517,87857

516,329705

479,555556

1559,81207

484,72

584,000000

581,617471

579,877976

538,577778

1751,78894

830,00

1000,000000

995,920326

992,941739

922,222222

2999,6386

1660,00

2000,000000

1991,84065

1985,88348

1844,44444

5999,2772

3320,00

4000,000000

3983,68131

3971,76696

3688,88889

11998,5544

En d’autres termes, la méthode de SS telle que rapportée et résumée par DD ne permet pas de découvrir le module numérique utilisé par les anciens Mexicains. Nous pensons que cette méthode produit des étalons ad hoc conçus dans le cadre des nombres décimaux (inventés et diffusés par le flamand Stevin à partir de 1586) et concrètement fabriqués avec trois outils : le système métrique (pour mesurer) ; la numération décimale (pour noter les résultats de mesure ou de calcul) et les algorithmes de l’arithmétique élémentaire notamment celui de la division des nombres à virgule. Pour comprendre le bénéfice et le confort apportés par ces outils, il suffirait d’effectuer les divisions sur des nombres écrits en numération et chiffres romains. Ce cadre et ces outils sont aujourd’hui connus et diffusés dans le monde entier, mais tout prouve que les anciens Mexicains ne les connaissaient pas. Que des chercheurs comme Sugiyama ne parviennent pas à se passer de l’outil décimal pour reconstituer le cheminement de la pensée des bâtisseurs de Teotihuacan semble indiquer que ces outils font écran et empêchent l’immersion dans l’univers cognitif mésoaméricain et la compréhension profonde de la culture métrologique des anciens Mexicains. Calendaires ou rondes, les valeurs soi-disant parlantes exhibées sont – dit en toute humilité, en mon for intérieur et à corps défendant – des projections du chercheur moderne qui trouve après coup dans la cité de Teotihuacan des valeurs qu’il a lui-même construites (en jouant sur le nombre de chiffres après la virgule) et que son désir avait déjà et confusément placées là. Cela relève de ce que j’appelle péché mignon des ethno-X ou syndrome de Waldeck qui voyait des éléphants dans les glyphes mayas de Palenque.

3.- Quelques règles pour conduire la recherche des raisons

De riches enseignements épistémologiques et méthodologiques peuvent être tirés des travaux que nous venons de survoler et qui tous prétendent établir le vouloir dire d’un bâtisseur du passé en faisant parler le texte de ses œuvres jusqu’à la manifestation de sa volonté de planification (numérique). Dans tous les cas survolés, il s’agissait d’inventer (au sens des chercheurs de trésor) des rapports remarquables ou parlants entre les dimensions d’un meuble, d’un édifice ou d’une cité. Sans le dire ou en le disant, les chercheurs sont contraints d’admettre certains postulats (qui varient en fonction des civilisations ou des époques étudiées, parce que celles-ci sont diverses et changeantes).

Dans le cas de la Grèce antique, pépinière d’excellents géomètres et de spécialistes de la représentation des nombres par des figures de points, des segments et des rapports[26], le chercheur interroge davantage les figures que les nombres, et admet comme preuve d’une planification numérique l’invention d’une figure qui de près ou de loin s’apparente à une expression géométrique de φ, par ex. , le nombre d’or supposé avoir été la clef grecque de l’harmonie ou la proportion divine qui fait entrer et planer dans la béatitude. Nous avons montré sur l’exemple du Corbusier qu’il est possible, parfois, de démontrer la présence de cette proportion devenue mythique. Ailleurs, notamment chez ceux qui n’ont manifestement pas développé une mathématique aussi sophistiquée que celle de l’Antiquité grecque, les chercheurs acceptent comme preuve d’une planification numérique le fait de trouver des couples de quotients de mesure qui s’expriment en nombres entiers, et même plus précisément en petits nombres entiers. Sans expliquer pourquoi, certains chercheurs sont plus exigeants et demandent en plus qu’il s’agisse par exemple de nombres pairs, ou de nombres premiers. On remarque ici que le fait de disposer de nombreux étalons (même sans liens entre eux) permet toujours, notamment à qui ne sait pas compter plus loin que vingt par exemple, de ne manipuler que des résultats de mesures qui s’expriment par des petits entiers. On peut facilement arriver à ce résultat par essais et erreurs. Par exemple, si je veux mesurer la longueur de l’ordinateur sur lequel je travaille en ce moment, je peux expérimenter la mesure en doigts, en pouces, ou en empans : je trouve respectivement :« 20 doigts », « 15 pouces », et « 1 empan 2 paumes et 1 doigt » ; si je suis de plus familier du fait qu’une paume correspond à 4 doigts et à 3 pouces, je peux encore ajouter la valeur « 5 paumes », ou si je vérifie que la longueur de mon index correspond à ma paume de quatre doigts, je peux encore traduire par « 5 index ». Tout cela n’est rigoureusement vrai que pour des adultes analphabètes en mathématique et métrologie, et qui ne disposent a priori que des tout premiers nombres entiers et d’une poignée de fractions comme un demi, un tiers ou deux tiers, et qui ne sont pas trop regardants sur la précision de mesures nécessairement réalisées sous le contrôle de l’œil qui estime les équivalences établies par ex. entre la longueur de l’index et celle des quatre doigts de la paume. Dans cette expérience de mesure, je me rends compte que l’empan n’est pas un étalon de longueur adapté à la taille de mon ordinateur[27]. On peut retenir un postulat un peu explicité : dans les cités où la population ne sait pas compter au-delà de la vingtaine (c’est le cas des campagnes françaises sous la monarchie), il est avantageux de disposer de nombreux étalons de taille différente (non nécessairement liés) car ceci permet de ne manipuler que des mesures exprimées par des petits entiers. On voit aussi qu’un système bien organisé de multiples et sous-multiples de l’étalon favorise le travail de l’autorité supposée devoir contrôler de longues listes de mesures d’objets de taille différentes et devant être comparés avec une certaine précision et une plus grande rigueur. L’histoire et l’expérience montrent qu’il est souhaitable d’adopter une même progression à la fois pour les nœuds de la numération (si possible de position) et pour les systèmes de multiples et sous-multiples. Deux raisons (dix et douze) se disputent depuis toujours les faveurs des hommes du calcul et de la mesure qui finissent presque partout par utiliser la progression de dix en dix (éventuellement décomposée en progression par 2 et 5) et la progression de douze en douze (éventuellement décomposée en progressions par 2, 3, 4, et 6)[28]. Un des plus anciens systèmes de mesure de longueur est égyptien, son unité est la coudée royale[29] divisée en 7 paumes (il existait aussi une coudée de 6 paumes) de chacune 4 doigts ; on connaît deux multiples 1 khèt = 100 coudées et 1 itérou = 20 000 coudées (et donc 200 khèt). Dans un des anciens systèmes français, dit système du roi de France, l’étalon est le pied (environ 32,6 cm). Il a trois sous-multiples, tous au douzième : 1 pouce = 1/12 de pied, 1 ligne = 1/12 de pouce, et 1 point = 1/12 de ligne (et donc 1/1 728 pied). Le pied a quatre multiples : 1 toise = 6 pieds, 1 perche = 18 pieds (et donc 3 toises), 1 arpent = 220 pieds, et 1 lieue = 10 000 pieds. En conclusion, les hommes apprécient les rapports exprimés par des petits nombres (2, 3, 4, 5, 6, 7), ou par des nombres parfois grands mais correspondants à des multiples d’un nombre simple (nombre d’appui, base, étalon, unité) équivalents de nombre ‘ronds’ en numération décimale (10, 100, 10 000, 20 000).

Je connais peu de travaux qui reprennent un problème que l’Histoire des mathématiques rencontre parfois, celui de l’homogénéité ou de l’anisotropie de l’espace. DD le signale sans remarquer qu’elle admet sans le savoir une proposition fausse, l’idée que pour tous les peuples (en tout cas pour les anciens Mexicains) l’espace serait homogène, plus exactement isotrope, dans toutes ses directions : « il faut chercher à comprendre comment ils ont procédé. En premier lieu, il leur a fallu recourir à la même unité de mesure dans les sens de la longueur et dans le sens de la largeur. Il semble en effet, impossible de diviser la pierre à tailler selon des ‘cœurs’ dans un sens et des ‘pieds’ dans l’autre » (p.112). Il existe de nombreux contre-exemples à cette soi-disant impossibilité. Les ethnolinguistes décrivent souvent des situations où les gens utilisent des étalons différents selon que les mesures se font dans un sens ou dans un autre et des situations où le même étalon donne des mesures différentes dans un sens ou dans l’autre ; l’exemple le plus typique est celui de la mesure de la longueur des trajets, sur l’eau ou en montagne, évaluée par la durée, en jours par ex., du déplacement. Homogénéiser l’espace est une abstraction qui n’a rien de naturel. L’histoire des mathématiques semble indiquer que la construction de l’espace abstrait (par ex. isotrope du point de vue de la mesure des distances) émerge dans le cadre du développement des moyens de définir et calculer la longueur d’une diagonale en fonction de celles des côtés de la figure considérée, ou de définir et calculer les surfaces en fonction de leur périmètre et les volumes en fonction de leur enveloppe. Prenons l’exemple simple du calcul de la surface d’un champ rectangulaire dont la longueur et largeur sont mesurées avec des étalons différents. Cette situation est finalement très répandue. DD signale elle-même dans son tableau 15, une brasse horizontale de 1,6668 m et une brasse verticale de 2,50 m manifestement de longueur différente ; et les pilotes vivent cette situation au quotidien dans leur cockpit où les instruments indiquent l’altitude verticale en pieds de 0,30 m, et la vitesse par rapport à l’air, donnée par la distance parcourue en une heure et affichée dans deux unités : en nœuds de 1852 m et en kilomètres de 1000 m. Supposons un rectangle 5 x 4, ayant une longueur de 5 barre horizontale et une largeur de 4 barre verticale. Appliquée brutalement sans correctif, la formule traditionnelle du rectangle, S = L x l, produirait un artefact. Certains peuples ont contourné cette difficulté en ramenant systématiquement l’une des dimensions du rectangle à l’unité, ou en homogénéisant l’espace. On peut donc conjecturer que les peuples qui ne faisaient ni calculs de surfaces ni calculs de volumes[30] n’avaient pas de raison particulière d’homogénéiser leur espace. On parviendrait à la même conclusion pour les peuples qui n’ont pas cherché à évaluer la mesure d’un segment placé en biais dans un espace semi-homogène rapporté à deux dimensions indépendantes (par ex. orthogonales) graduées en unités différentes[31].

Nous venons d’écarter les méthodes rapportées par DD après avoir constaté que le module dont elles finissent par accoucher présente des malformations qui le rendent invivable. Nous avons montré que ce défaut rédhibitoire résulte du fait que le module mort-né a été conçu en logique métrique décimale[32]. Ce qui conduit à la question de savoir pourquoi les chercheurs ne parviennent pas à dépouiller les modules nahuas et leur éventuel système du déguisement métrique et décimal dont ils les affublent dans leurs publications ? L’enquête menée par DD débute par l’identification de deux faits : « la reconstruction du système nahua de mesures longitudinales présente des difficultés intrinsèques » (p. 98) ; et « depuis le travail pionnier de Brinton (1885), les tentatives de clarifications du système nahua sont restées rares » (id.). Sans plus s’intéresser à la difficulté de reconstituer le système nahua de mesures longitudinales, continue sa revue des recherches du module et du système in-trouvés. Les plus prometteuses sont engagées, écrit-elle, sur deux fronts : a) la chasse systématique aux informations métrologiques contenues dans les documents rédigés au début de la Colonisation, comme c’est le cas des travaux de Harvey et Williams (1981) ou de M. Alonso (1984), et b) la production d’informations métrologiques obtenues, comme celles de Sugiyama (2005) ou de Clark (2008), par des campagnes de mesures qui confrontent « les unités de mesures nahuas aux dimensions des édifices et des monuments découverts dans les cités précolombiennes » (ibid.).

Quand la nature se fait têtue et continue comme ici de nous refuser la contemplation du système nahua malgré les efforts des chercheurs qui se sont donné comme but « de reconstruire le système d’équivalence généralisé  entre les différentes mesures (tableau 15) » (p. 100), c’est le moment de formuler une conjecture raisonnable. Le tableau 15 est un inventaire de tous les étalons de mesures de longueur répertoriés dans l’univers des anciens Mexicains, sans aucune indication du domaine d’emploi de chacune, et simplement ordonnés en fonction de leur taille. La taille n’est définie en logique nahua mais par la mesure décimale de chaque étalon (les mesures du tableau 15 vont de 0,017 à 2,50 et sont exprimées dans le système métrique que les révolutionnaires de 1789 n’ont pas encore inventé). DD s’en explique « comme on le voit, j’ai suivi mes prédécesseurs dans leur recherche d’une conversion des unités dans le système métrique. Il ne s’agit là que d’une convention, mais elle est utile pour nous permettre d’appréhender les mesures et, surtout, trouver les équivalences entre les unités nahuas et espagnoles. Or, il n’existe qu’une seule unité nahua qui puisse être comparée avec exactitude à une unité espagnole. C’est le ‘cœur’ (yollotli) qui correspond à la distance séparant le milieu du thorax du bout des doigts. Le ‘cœur’ correspond à une vara espagnole comme l’établissent plusieurs documents du XVI° siècle, et la vara mesurait 0,8359 m » (p.100). La nature est de plus en plus têtue : chaque fois qu’un chercheur part à la recherche du système nahua, il tombe, comme ici avec la vara, sur des éléments du système espagnol[33] d’avant le système métrique. Si l’on ajoute à cela que les documents précolombiens susceptibles de prouver des préoccupations numériques contiennent surtout des listes de dénombrements de quantités discrètes ou discrétisées et pas de mesures proprement dites, il ne reste plus qu’à se demander si le système nahua des mesures de longueur a existé, et si les documents post-colombiennes ne seraient pas le maque de l’appropriation par les Mexicains du système apporté en Mésoamérique par les Espagnols. D’où :

Notre conjecture : les anciens Mexicains étaient familiers, chacun dans son domaine d’influence, des quelques étalons de mesure dont ils avaient besoin et qu’ils adaptaient chaque fois que nécessaire. Le territoire des anciens Mexicains devait donc être couvert d’une multitude d’étalons dont beaucoup furent empruntés à la morphologie humaine. Ces étalons n’avaient pas de valeurs fixes, changeaient vraisemblablement selon les lieux, les temps, les choses à mesurer, le statut social des mesureurs… Autrement dit, jusqu’à l’arrivée des Espagnols, il n’y aurait pas de système nahua d’unités de mesure des longueurs. L’histoire montre clairement que cette situation change rapidement, dès la Conquête, et que les changements s’accélèrent avec la Colonisation qui fait naître, dans tous les domaines, les fruits hybrides du contact des peuples et des civilisations. C’est pourquoi des chercheurs comme Harvey et Williams découvrent des écritures numériques inconnues avant la Conquête et que l’on trouve en usage dans les registres de propriétés utilisés comme éléments à charge ou à décharge dans les litiges intra et intercommunautaires.

La conjecture (pas de système nahua avant la Conquête, seulement des hybrides après) ne repose peut-être que sur un défaut des méthodes rapportées (saisir le module nahua à travers le filtre décimal). Il reste donc à définir un plan d’expériences susceptibles de faire apparaître, s’ils ont existé, les modules et systèmes nahuas débarrassés de tout déguisement décimal. Prenons le cas plus familier d’une église ou d’une cathédrale, et voyons si l’on pourrait, avec cette exigence, découvrir un module utilisé par un maître d’œuvres du Haut Moyen Âge. Sugiyama est parti de la mesure d’une balustrade, DD des mesures d’une « pierre taillée monumentale représentant la divinité de la terre, Tlaltecutli » (p. 101). Le choix de l’objet à mesurer semble laissé à l’arbitraire du chercheur. Cela ne permet pas de répondre à notre demande car la mesure trouvée est celle d’une longueur qui n’a peut-être pas été planifiée le bâtisseur lui-même. Savoir qu’elle s’exprime par 2, par 5, par mille ou par toute autre valeur ne prouvera jamais qu’elle fut planifiée ; et si le nombre obtenu est à quelque point de vue remarquable, cela peut très bien n’être que l’effet du choix de telle ou telle ou telle écriture des rapports de longueurs. D’où une première exigence de méthode : pouvoir déterminer au moins une chose dont on puisse affirmer qu’elle fut vraisemblablement planifiée, et si possible numériquement planifiée.

Dans le cas d’une église, nous savons au moins que leur orientation était planifiée[34] , ce qui suffit à montrer que l’espace était au moins semi-homogène, et qu’il présentait des directions privilégiées plus susceptibles que toutes les autres d’être effectivement graduées et donc d’avoir été planifiées. A priori, sauf particularité essentielle inhérente à la nature du terrain ou à celle du projet de construction, ces directions sont orthogonales, au nombre de trois, et graduées (souvent, mais pas nécessairement, avec le même module).

Concrètement, on mesure systématiquement dans les directions ‘hauteur’, ‘largeur’, ‘longueur’ par exemple la largeur de la façade, la distance entre les centres des piliers, l’axe de la nef, la hauteur de la nef.

Que faire maintenant des résultats de mesures ? Imaginons avoir trouvé une longueur de 1647 cm. On peut commencer à se faire une idée de l’étalon utilisé pour la planifier et la construire en divisant 1647 cm par la longueur de toutes les unités de longueur de l’époque encore connues. A savoir par exemple : le pouce, le pied, la toise… On obtient ainsi une estimation du nombre de fois qu’une unité particulière serait contenue dans la longueur 1647 cm. Par exemple, notre longueur contient moins de 51 pieds et plus de 50 pieds de 32,66 cm. Le problème, à supposer que le maitre travaillait en pied, c’est que le sien n’a aucune raison de mesurer 32,66 cm comme le pied de sa définition sur internet. Testant les autres unités, on obtient de la même manière par ex. que notre longueur contient moins de 9 toises et plus de 10 toises. Ces deux résultats semblent acceptables, contrairement à ceux d’une mesure en points qui donneraient une longueur de plus de 899 points, ou qu’une mesure en arpent qui donnerait 0 parce que notre longueur ne peut même pas en contenir un.

On conserve tous les résultats sui semblent acceptables. Par exemple, le module pied. On vient de voir que notre longueur contient entre 50 et 51 toises et on se demande comment déterminer la valeur du pied utilisé par le maître d’œuvres.

On fait ici l’hypothèse réaliste que le pied[35] est la plus petite erreur discernable ou acceptable par le maître d’œuvres qui a tracé ou mesuré la longueur dont nous sommes partie et qui est de l’ordre de 50 pieds. On calcule alors qu’elle serait la longueur du module pied s’il était contenu (50 + m) ou (50 – n) fois dans la longueur 1647 cm. Les entiers m, n sont incrémentés de 1 tant que la valeur du module pied ainsi calculée reste dans la fourchette définie par la plus petite et la plus grande valeur historiquement attestées du module pied.

Voici un extrait des résultats obtenus que l’on peut lire en disant si la longueur 1647 cm est divisée par x, alors le module pied utilisé par le maître d’œuvres était de longueur y cm :

x

y

 

x

facteurs de x

44

37,431818

 

44

2, 2, 11

46

35,804348

 

46

2, 23

48

34,312500

 

48

2, 2, 2, 2, 3

50

32,940000

 

50

2, 5,5

52

31,673077

 

52

2, 2,13

54

30,500000

 

54

2, 27

56

29,410714

 

56

2, 2, 2, 7

58

28,396552

 

58

2, 29

 

 

x

y

 

x

facteurs de x

44

37,431818

 

44

2, 2, 11

46

35,804348

 

46

2, 23

48

34,312500

 

48

2, 2, 2, 2, 3

50

32,940000

 

50

2, 5,5

52

31,673077

 

52

2, 2,13

54

30,500000

 

54

2, 27

56

29,410714

 

56

2, 2, 2, 7

58

28,396552

 

58

2, 29

 

 

 

 

 

 

 

 

On a ainsi défini un ensemble de modulespossibles. Deux types de méthode peuvent alors conduire à en distinguer un et un seul. Soit en se donnant pour telle ou telle raison un crible qui permette de répondre à la question. Par exemple si l’on estime que le maître avait un faible pour les mesures qui s’expriment par un entier à beaucoup de diviseurs, on retiendra le couple x = 48 et y = 34,312500 car 48 est divisible par 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24. L’autre type consiste à calculer avec le module que l’on vient de distinguer (sinon, on les prend tous les uns après les autres) la longueur de toutes les parties de l’édifice que l’on sait ou suppose avoir été numériquement planifiée par le maître.

Si on constate que toutes les mesures s’expriment exactement (ou très simplement) en nombre entier, cela signifie : a) que l’on a découvert le module cherché et b) que l’on a prouvé que le maître disposait d’un système de mesure de longueur et qu’il planifiait numériquement ses constructions. Accessoirement, on a découvert la valeur (éventuellement secrète) du module personnel du maître d’œuvres. On peut, mais alors seulement, lancer l’interprétation numérologique des mesures que le maître a donné à son œuvre et que le processus méthodique vient de dévoiler. Cela devrait commencer par la description la plus précise et objective possible de ce que l’on appelle parfois le tracé régulateur de l’édifice. Voici par exemple ce que pourrait être le tracé régulateur de la nef de Saint Philibert de Tournus, ancien monastère bénédictin. Avec un module de 185 cm, le tracé régulateur prend une forme numériquement très simple : chaque travée de la nef centrale fait 4 toises de large et 3 toises de long. Les bas-côtés sont des carrés de 3 toises de côté. Mesurée du socle à l’imposte, les colonnes rondes font 5 toises de hauteur. On peut alors suggérer que le triangle égyptien (de côtés 3 – 4 – 5) est sans doute le principe organisateur du schéma général de la nef.


[1] La source de mes rêveries est la lecture du chapitre VI, Mesures du corps, mesures du monde, du livre L’imaginaire des nombres chez les anciens Mexicains que nous avons présenté dans le bulletin précédent. Les images sont consultables sur ; http://www.lenombredor.free.fr/modulor.htm et https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/11/Anatomical_and_ geometrical_proportions_-_Albrecht_D%C3%BCrer.png

[2] Au sens percevoir, remarquer et prendre conscience de la présence ou de l’existence qqch, de quelque vérité (aléthéia).

[3] Le tapis de prières s’oriente vers la Mecque, les structures en E de Uaxactun pointent Solstices et Équinoxes…

[4] Quand une base de bâtiment nous apparaît rectangulaire de longueur L et de largeur l dans le rapport L/l = r selon nos mesures en système décimal et numération de position, comment peut-on : a) décider que ces informations sont pertinentes du point de vue de l’architecte, du maître d’œuvres, des ouvriers, des usagers contemporains du bâtiment… qui utilisaient des instruments et des systèmes de mesures ainsi que des numérations autres que les nôtres, b) montrer que ces informations étaient, ou non, significatives pour tel ou tel de ces groupes d’acteurs c) dévoiler une part de leurs significations.

[5] Par et dans le dialogue (interculturel, interethnique, interdisciplinaire…) avec les textes, les descendants de même langue, les héritiers de la culture source… qui permet d’entrer dans la familiarité de l’autre.

[6] Qui permettent, avant le nombre parlé et a fortiori bien avant le nombre écrit, de montrer, séparer, distinguer, grouper, bref d’énumérer, dénombrer, mettre en relation, comparer….

[7] Les anciens systèmes de mesure ont toujours oscillé entre diversité et unité. Par exemple, sur le territoire de la France, on observe d’abord une certaine unité au début de l’ère chrétienne parce que Rome avait imposé son système de mesures fondé sur le pied comme étalon principal. On observe ensuite, après la chute de l’empire romain et jusqu’à l’imposition du système métrique décimal, une extrême diversité des systèmes : des mesures de même nature et de valeurs voisines (par ex. la quantité de terre labourée en un jour par un homme) avaient des appellations différentes selon les provinces, voire selon les villages. Et vice versa. Bien qu’ayant partout le même nom, de nombreuses mesures différaient d’un lieu (et d’un temps) à l’autre et même selon la corporation qui l’utilisait. Mais il ne faut jamais perdre de vue, comme Napoléon le soulignait dans ses mémoires, qu’un système unique qui s’applique universellement à toutes les situations où se trouvent les hommes de tous les temps et de toutes les nations est un système nécessairement abstrait dont les unités ne sont plus immédiatement parlantes et ne permettent plus le contrôle sémantique des quantités manipulées. Au contraire, la diversité observée sur le territoire entier cache le fait qu’il se formait en chacune de ses niches, de ses groupes humains, de ses collectivités territoriales ou corporatives un système de mesures très adapté aux besoins spécifiques de la niche, un système homogène qui parlait aux gens du lieu ou du métier et leur permettait d’exprimer leur vouloir dire, d’échanger ses secrets dans l’entre-soi.

[8] Postulant qu’une bonne numération demande en pratique que tout nombre soit parfaitement distingué et bien défini par une unique expression, tandis qu’une bonne métrologie demande au contraire que toute mesure soit facilement transformable, alors on peut montrer que l’usage métrologique tend à favoriser les entiers pas trop grands et à plusieurs diviseurs, tandis que la numération favorise au contraire les entiers pas trop grands sans ou avec peu de diviseurs. Par suite : 10 (divisible par 2 et 5), 11 (premier), 12 (divisible par 2, 3, 4 et 6) et 13 (premier) présentent, malgré un même ordre de grandeur, des propriétés différentes faisant que le troisième, 12, répond mieux aux besoins de transformation des systèmes de mesure, et que les trois autres répondent mieux aux besoins d’unicité des systèmes de numération.

[9] Ou, de façon plus lacunaire chez les anciens Mexicains à l’époque de la Conquête : 1 macpalli ‘paume’ fait 4 mapilli ‘doigts’, et 3 macpalli ‘paume’ font 1 iztetl ‘ongle’ ou ‘empan’ comme le montre par ex. Dehouve (2011:102-103).

[11] Pour les élèves de l’école pythagoricienne où l’enseignement était oral et secret, le nombre (entier naturel) – toujours associé à un arrangement de points qui le figurait – était le concept central de la nature, et son principe explicatif dans le cadre d’une mystique ésotérique ; la découverte des premiers nombres irrationnels provoqua un traumatisme intellectuel dans l’école et, dit-on, le suicide de son inventeur.

[12] Il n’est pas impossible que les peuples qui allèrent vers le monothéisme préfèrent tout voir sous un seul et même nombre, tandis que le polythéisme et l’animisme iraient plutôt vers la multiplicité de rapports, chaque entité ayant les siens propres.

[13] Ce nombre réel fut construit par les mathématiciens grecs. On peut le présenter comme la solution positive de l’équation x2 –x – 1 = 0, soit φ = ½ (1 + √5) et le mettre sous forme décimale φ = 1,618 033 988 749… Pour Euclide, deux segments a et b sont en extrême et moyenne raison (on dit aussi en ‘proportion divine’, ‘section dorée’, ‘nombre d’or’) quand leurs longueurs vérifient l’égalité « (a+b)/a = a/b » c’est-à-dire quand le rapport de la somme des deux longueurs (a+b) sur la plus grande a est égal à celui de la plus grande a sur la plus petite b. En multipliant les deux termes de l’égalité par a/b on obtient la nouvelle égalité (a/b)2 – (a/b) – 1 = 0. La suite dite de Fibonacci définie par « u0 = 0, u1 = 1 et, pour tout n > 0, un+2 = un+1 + u» est très liée au nombre d’or parce que la suite des quotients (un+1 / un ) converge (rapidement) vers la limite φ. D’où une autre façon de découvrir la  divine proportion : trouver une partition en deux nombres (ou deux mesures) égaux à deux termes successifs d’une suite de Fibonacci. Un monument très souvent cité comme preuve de la présence du nombre d’or est le Théâtre d’Épidaure, car il compte 34 rangées de gradins (placés en douze secteurs délimités par des escaliers) auxquelles furent ajoutées, environ un siècle plus tard, 21 rangées de gradins (placés cette fois en vingt-deux secteurs) soit un total final de 55 gradins. Ce sont les termes de rang 9, 10 et 11 de la suite de Fibonacci réalisant les rapports 55/34 = 1,6176 et 34/21 = 1,6190 que l’on peut considérer comme proches du nombre d’or. Les chercheurs de nombre d’or sont souvent moins exigeants sur la précision de l’approximation et se contentent de faire apparaître un seul couple de termes consécutifs de la suite de Fibonacci, par ex. les entiers 5 et 3 (pour le Temple d’Andros) donnant le rapport 1,6667, et même les termes 2 et 1 (pour le Temple de Salomon). Avec un tel laxisme, le nombre d’or apparaît absolument partout, en tout cas dès qu’un tout apparaît divisible en deux moitiés.

[14] Introuvable parce que les proportions du corps humain, qui ne sont ni les mêmes pour tous, ni les mêmes à tous les âges, sont de plus en constante évolution. Et l’histoire montre que le maintien d’un canon uniforme est toujours une affaire de pouvoir suffisant fort pour l’imposer ; en ce sens on pourrait parler de ‘royale proportion’ chaque fois que les étalons de mesure furent définies et construits à l’aune des parties du corps du roi et autres roitelets. Reste que le nombre d’or est un objet mathématique et que, à ce titre, il peut évidemment être construit et montré (par ex. à la règle et au compas, ou à l’aide de la corde à treize nœuds des bâtisseurs de cathédrales) mais même dûment construit, sa présence n’est pas démontrable en mesurant les éléments de la construction ou de la figure géométrique. Pour la simple raison qu’aucun instrument ne donne une infinité de décimales.

[15] Quand on observe la production de savoirs, on découvre vite que la plupart des connaissances sont aujourd’hui largement divulguées (écoles, media, centre de formation…) et que pourtant, la recherche, elle, se développe toujours dans le secret des laboratoires ; il est donc assez plaisant de constater que la recherche scientifique qui a pour but de dévoiler les secrets de la nature s’isole paradoxalement du monde et couvre d’un voile le saint des saints où elle opère son travail. Le secret apparaît ainsi comme une composante intime de la production des savoirs, parce que ceux-ci permettent, tant qu’ils restent confinés et peu ou pas partagés, à l’oligarchie des chercheurs de conserver le pouvoir que la connaissance leur procure, d’une part, sur leurs collègues qui ne sont pas (ou pas encore) dans le secret, et d’autre part, sur ceux qui sont dans le non-savoir (ignorants, enfants, métèques et autres) ; on devine ici pourquoi tant de chercheurs sont d’autant plus arrogants que le contenu de leur découverte est pauvre, et pourquoi tant de politiques et de dirigeants tentent de mettre le pouvoir de la science au service de leurs propres projets de pouvoir.

[16] Une rumeur rapporte que c’est l’écrivain et critique d’art Théodore Cook qui proposa de noter φ le nombre d’or, en hommage au sculpteur grec Phidias qui décora le Parthénon à Athènes

[17] On trouvera, par ex. sur internet, des dizaines de chercheurs de nombre d’or qui parcoururent le monde pour en mesurer les plus célèbres bâtiments comme la Pyramide de Kheops, le Parthénon d’Athènes, le Théâtre d’Épidaure, la Cathédrale de Strasbourg, etc. Comme on peut s’y attendre, tous finissent par exhiber des résultats de mesures qui, combinés d’une manière ou d’une autre, délivrent une valeur numérique plus ou moins proche de φ ou de sa racine carrée…

[18] Voici comment Le Corbusier raconta l’histoire de son célèbre Cabanon : « Le trente décembre 1951, sur un coin de table, dans un petit casse-croûte de la Côte d’Azur, j’ai dessiné pour en faire cadeau à ma femme pour son anniversaire, les plans d’un Cabanon que je construisis l’année suivante sur un bout de rocher battu par les flots. Ces plans, (les miens) ont été faits en 3/4 d’heure, ils sont définitifs ; rien n’a été changé ; grâce au modulor, la sécurité de la démarche fut totale ».

[19] De telles durées impliquent que de nombreux maîtres d’œuvre se sont succédés sur le chantier, chacun avec son équipe, ses instruments de mesures et de calculs, ses étalons et autres gabarits, sans oublier ses secrets.

[20] 260 est le nombre de jours de la semaine divinatoire mésoaméricaine, 520 son double, et 584 la durée en jours de l’année vague vénusienne (révolution synodique).

[21] Pour ses propres recherches (p. 97-111), DD admet comme preuve la mise en évidence de rapports s’exprimant par de petits entiers dotés de signification symbolique : « Or, les nombres 2, 3, 4, 6, 8, 12 étaient dotés d’une signification symbolique dans l’ancien Mexique (chap. IX) » (103). Le caractère ‘doté d’une signification symbolique’ n’est pas pertinent : à ma connaissance, il n’existe pas, chez les anciens Mésoaméricains, de nombre entier sans signification symbolique. Exercice : montrer que les absents dans la liste de DD (1, 5, 7, 9, 10, 11) ont tous une signification symbolique pour les anciens Mexicains.

[22] La vara contient exactement trois pieds, d’où l’écriture décimale de la valeur en mètre du pied : 0,2786 = 1/3 (0, 8359).

[23] Ce qui ouvre la porte à beaucoup d’abus et d’erreurs : soutenir, par ex., que le nombre 3,14 ou le nombre 3,1416 obtenu en mesurant la longueur d’un cercle et en la rapportant à celle de son diamètre est le fameux nombre réel noté π depuis le XVIe.

[24] A supposer que Teotihuacan utilisait une numération écrite du même type Additif que la numération aztèque, le nombre 1000 se serait écrit en juxtaposant 2 signes de quatre-centaine et 10 signes de vingtaine, 2000 aurait juxtaposé 5 signes de quatre-centaine et 4000 en aurait juxtaposé 10 ; en numération vigésimale, seuls 2000 = 5.0.0. et 4000 = 10.0.0. auraient été ronds (mais pas 1000 =  2.10.0.)  ; mais cette numération n’a laissé aucune trace d’emploi pour noter des longueurs, et, dans la notation attestée des durées, ces nombres se seraient écrits avec trois chiffres dont un seul zéro à la fin (1000 s’écrit 2.14.0., 2000 s’écrit 5.10.0., et 4000 s’écrit 11.2.0.) parce que 1000 est multiple de vingt.

[25] Comme le font la majorité des nahualistes actuels. C’est le cas de DD qui utilise le module qui répond au joli nom de yollòtli ‘cœur’ et qu’elle définit par la valeur 0,8334 m « valeur que j’ai prise comme référence du système d’équivalence (p. 106) » choisie et fixée après avoir découvert que les dimensions de la pierre monumentale de Tlaltecutli « une longueur de 4,17 m et une largeur de 3,62 m » (p. 111)  s’expriment toutes les deux par des petits nombres entiers de ce module «4,17 m =5 cœurs de 0,8334 m […] 3,62 m = 4 cœurs » (id.).

[26] C’est à la règle et au compas, comme on dit, que les Grecs ont construit tous leurs nombres, découvert les irrationnels comme √2 ou effectuer les ‘quadratures’ c’est-à-dire définir et trouver la mesure de l’aire de toutes sortes de figures en les montrant proportionnelles à une figure dont l’aire est connue ; une des plus anciennes définitions de π est celle d’Archimède (Dans tout cercle , la proportion de la circonférence au diamètre et la proportion de la superficie au carré du rayon sont égales à une même constante). Pour un Grec, la géométrie est avant tout la langue du nombre et de la mesure, la langue qui permet de faire être les rapports et de contempler leur harmonie.

[27] Parce que la taille de mon ordinateur est trop proche d’un empan. Si je prends un étalon très petit relativement à mon ordinateur, une ligne par exemple égale au douzième d’un pouce, j’obtiendrais une mesure que je serais incapable d’exprimer (dans l’hypothèse où je compte bien jusqu’à vingt) : une longueur de 15 pouces devient en lignes une longueur de 180 (en recommençant un grand nombre de fois la mesure, on trouverait des valeurs oscillant dans une fourchette, par ex. au dixième : 180 – 18 et 180 + 18).

[28] La coexistence de plusieurs systèmes favorise parfois quelque combinaison de ces raisons et conduit à l’émergence de nouvelles progressions (vigésimale en Mésoamérique, sexagésimale en Mésopotamie). Condorcet avait compris le bénéfice qu’apporterait l’alignement de l’échelle des systèmes métrologiques (réglés le plus souvent sur le pas de douze) sur la base de la numération décimale de position (dix). La Révolution opta pour réformer le système des mesures en le rendant décimal, et elle laissa ainsi passer l’opportunité de réformer la numération en passant à la base douze.

[29] Environ 52,5 cm (d’après la longueur de la règle de Mâya, ministre des finances du roi Toutankhamon, conservée au Musée du Louvre).

[30] Ce qui me semble être le cas de tous les Mésoaméricains avant la Conquête et la Colonisation.

[31] Dans un espace semi-homogénéisé, l’usage égyptien d’instruments comme la corde 3, 4, 5 ou la corde à 13 nœuds montre qu’il est possible de construire : des angles droits, des angles particuliers, des proportions et même des nombres irrationnels comme racine de deux ou le nombre magique.

[32] Dès le début de la Conquête, les Espagnols s’efforcèrent d’imposer la dite logique aux anciens Mexicains.

[33] Un système espagnol traditionnel avait le pie ‘pied’ comme étalon principal. Il avait au moins trois 3 sous-multiples en progression de raison un douzième (pouce, ligne et point), et 3 multiples (vara, braza et estadal) vérifiant 1 vara = 3 pies, 1 braza = 6 pies, et 1 estadal = 12 pies.

[34] En général l’axe principal du bâtiment à construire est déterminé en premier lieu par le maître d’œuvres ; pour une église, l’axe de la nef pointe vers l’Est (le Soleil se levant est un symbole du Christ ressuscitant) ; sans boussole à l’époque, cette direction devait être déterminée par rapport au Soleil ou aux étoiles.

[35] Sinon, on recommence avec le sous-multiple suivant : le pouce douze fois plus petit que le pied, au besoin jusqu’à épuisement de la liste des sous-multiples.

André

Association d'Ethnolinguistique Amérindienne Professeur d'épistémologie et histoire des sciences

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Danièle Dehouve, 2011, L’imaginaire des nombres chez les anciens Mexicains, Presses Universitaires de Rennes

Danièle Dehouve, 2011, L’imaginaire des nombres chez les anciens Mexicains, Sciences des religions, Presses Universitaires de Rennes, 283 p.

Ce livre est une somme d’informations pour qui cherche à saisir L’imaginaire des nombres chez les anciens Mexicains. La préface de Philippe Portier (p. I-V) complimente l’ouvrage qui dépasse les débats récents sur l’avenir de l’anthropologie présentée comme tiraillée entre la tentation de l’universalisme axiologique et la thèse que « les savants du Nord sont incapables d’entrer dans les arcanes des sociétés dont ils ne sont pas originaires ». Portier récapitule les principales thèses de Dehouve et souligne la richesse d’une anthropologie qui multiplie les outils : métissage des documents, intrication des approches, conjonction des périodes. Du point de vue de la quantité des informations rassemblées, les 263 pages du livre de DD supportent la comparaison avec les classiques du genre en langue française . Les données réunies dépassent le strict cadre de l’antiquité aztèque et incluent en particulier les Mayas du Classique et les usages actuels . Le style est clair et accessible. La somme des données rassemblées fera les délices des amateurs de numérologie, pratiques divinatoires, mentalités, mythes et religions. A mon sens, les plus originales viennent des travaux de terrain de l’auteure et de ses connaissances du nahuatl : beaucoup de lecteurs apprécieront en particulier les chapitres consacrés aux rituels (X Comptabilité rituelle, XI Rites et jours, XII Dépôts rituels). L’étude des dépôts montre qu’il s’agit de choses que l’on conserve et transmet pour servir de « support d’identité » par le truchement du nombre qui fait sortir du profane et entrer dans l’ordre de l’invisible : aussi bien des temps, des lieux, des objets… que des personnes, des âmes, des divinités. La présentation des données reprises de travaux plus ou moins classiques passionnera ceux qui s’intéressent aux usages du nombre dans la vie sociale et surtout religieuse des Mésoaméricains d’hier et d’aujourd’hui. Par contre, les spécialistes de la diversité des systèmes de numérations et de mesures ou encore de celle des calendriers resteront un peu sur leur faim car, à l’image des anciens Mexicains, DD raconte le nombre plus qu’elle ne le démontre, et ce manque de rigueur scientifique conduit l’auteure à laisse passer des énormités comme l’affirmation en p. 69 que les Mayas numérotaient les jours de la semaine divinatoire (tzolkin de 260 jours) par les entiers de 0 (zéro) à 12 (douze), ou comme la reprise de la thèse de Spinden (1924) posant que le 1er jour du 1er mois de l’année vague solaire maya était le jour 0 Zac (ha’ab de 365 jours). Les travailleurs de la preuve regretteront l’usage métaphorique d’une terminologie mathématique mal maitrisée (ensemble, base, numération de position, transfini, fractal…) et trouveront déplacée l’idée que l’approche culturelle du nombre mésoaméricain doit se contenter de travaux insuffisants sur l’histoire universelle des chiffres, des nombres et des numérations. Pour étudier les trois domaines dégagés par l’approche culturelle qui est « principalement le fait des anthropologues » (p. 12), Danièle Dehouve convoque des auteurs qui parfois trop embrassent ou qui commettent le péché mignon des ethno-X et finissent, comme Waldeck qui voyait des éléphants parmi les glyphes du panneau central du Temple de la croix de Palenque, par voir des énormités. La question du point de départ ou le fondement de toute théorie mathématique moderne n’aurait été posée que par un seul anthropologue, à savoir « par Mimica (1988), anthropologue, spécialiste d’un groupe de Papouasie Nouvelle-Guinée, qui a comparé le fondement du système numérique de cette population au fondement de la théorie des ensembles de Cantor » (p.12). Dehouve estime comme Mimica qu’« à partir du moment où les Iqwaye utilisent les ensembles ils parviennent aux mêmes conclusions que Cantor, notamment à la découverte de l’infini ». Même en acceptant le mythe que le corps du premier homme contient l’infini et l’entièreté du cosmos, aucune personne ayant étudié les théorèmes de Cantor ne peut adhérer à la thèse que les inventeurs de la numération iqwaye auraient eu ne serait-ce qu’un vague pressentiment de l’arithmétique des ordinaux et cardinaux transfinis construite par Cantor. DD ne va pas aussi loin dans la critique des thèses de Mimica : elle se contente de les émasculer en jetant le doute dans l’esprit du lecteur ; pour cela elle évoque l’idée que la découverte iqwaye de l’infini pourrait avoir suivi un chemin qui ne conduit pas à l’arithmétique cantorienne : « Si la théorie de Cantor et la cosmovision iqwaye ont en commun de se fonder sur la décomposition de la réalité en ensembles et sous-ensembles, rien ne prouve qu’elles poursuivent ensuite le même développement jusqu’à la découverte des nombres transfinis. Un point de départ commun n’implique pas le même point d’arrivée » (p. 35, c’est moi, AC, qui souligne en gras). J’aurais aimé que Danièle Dehouve découvre l’infini mathématique (tel par ex. que le définit Dedekind), qu’elle pousse son analyse jusqu’aux fondements de l’arithmétique cantorienne, et qu’elle esquisse au moins une critique comparée des constructions et des argumentations selon qu’elles filent les métaphores au hasard des gloses épilinguistiques spontanées ou qu’elles cultivent les analogies (raisons) en générant des familles de paraphrases métalinguistiques rigoureusement contrôlées par des théories et des plans d’expérience explicites.

André

Association d'Ethnolinguistique Amérindienne Professeur d'épistémologie et histoire des sciences

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Pourquoi un carnet « Intelligence Arithmétique Maya »

Bonjour,

Je m’appelle André Cauty, je suis professeur d’épistémologie et histoire des sciences à l’université Bordeaux 1.

Mon intention est de présenter et discuter :

– un type de numérations parlées qui n’était connu que par de rares expressions isolées de quelques langues comme le danois ancien ou le dzongkha (langue sino-tibétaine) mais qui fut systématique chez les Mayas. Devenu rare et en voie de disparition, c’est le type protractif des numérations parlées mayas attesté par les numérations en usage à l’époque de la Conquête de l’Amérique, et par trois formes écrites du codex de Dresde.

– un fait de numération rare : la distinction maya d’un zéro ordinal (pour les dates) et d’un zéro cardinal (pour les durées et plus généralement les nombres) attestée par les codex et les inscriptions monumentales mayas depuis 320 après J.-C. (zéro ordinal) et depuis 357 après J.-C. (zéro cardinal).

– les conséquences d’un constat assez étonnant : bien que les Aztèques connaissaient et utilisaient le xihuitl, c’est-à-dire une année vague solaire organisée en 19 périodes (18 ‘mois’ de vingt jours et un complément Nemontemi, en principe de 5 jours), ils n’ont laissé aucune date écrite à la manière maya c’est-à-dire dans le format βY donnant le rang (numéro) β du jour dans la période et le nom Y de la période.

– le type d’arithmétique que les scribes développèrent à partir des problèmes de calendriers qu’ils résolurent.

André

Association d'Ethnolinguistique Amérindienne Professeur d'épistémologie et histoire des sciences

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