L’arithmétique a bon dos

 

Les savants répètent beaucoup que le calendrier mésoaméricain résulte de la combinaison (souvent illustrée par l’image de l’engrenage) de deux calendriers, à savoir le calendrier divinatoire de 13 x 20 = 260 dates, et le calendrier de l’année vague solaire de 365 jours[1] généralement présentée comme une année festive organisée en  18 mois de vingt jours et 1 résidu de jours ‘funestes’.

Ils expliquent ensuite que cette combinaison génère un cycle de 52 années (voire de 18 980 jours) que les anciens mexicains distinguaient par autant d’expressions qui se suivaient selon une règle simple[2]. Par exemple, Hernández (2006) :

Pour justifier ce que j’appelle la thèse de l’engrenage –– dont les 4 principales propositions sont : 1) une année postulée être toujours de 365 jours, 2) une durée donnée en jours (18 980) et en années (52) du produit de la combinaison du calendrier divinatoire et de l’année, 3) la  structure en 13 x 4 du cycle des Porteurs ou Éponymes, et 4) la règle de succession des dates αXP ––, les savants s’en remettent à l’évidence ou invoquent les dieux de l’arithmétique scolaire. En l’occurrence le fait que 260 et 365 ne sont pas premiers entre eux, que leur PGCD est 5, et que leur PPCM est 18 980.

Bien qu’il n’existe pas d’exemples de date aztèque écrite avant la Conquête en année/calendrier de 365 jours/dates, la plupart des auteurs considèrent l’année festive des anciens Mexicains comme étant un calendrier de 365 jours datés. Dehouve (sd) par exemple écrit même, dans Les deux calendriers aztèques , que c’était le premier :

Le premier calendrier établissait une subdivision de l’année solaire et du cycle végétal, comme l’indiquait son nom : xiuhpohualli, « le compte annuel », de xihuitl qui signifie à la fois « l’année » et « les feuilles ». Ce calendrier était composé de 18 mois de 20 jours (soit 360 jours), auxquels s’ajoutaient 5 jours pour constituer une année de 365 jours.

Cet auteure est consciente de l’inconsistance de cette considération puisqu’elle écrit que le xiuhpohualli « ne permettait ni de donner un nom aux jours ni de suivre le déroulement des années » mais elle n’en partage pas moins : a) la thèse de l’engrenage du supposé calendrier xiuhpohualli (365 jours) et du calendrier divinatoire tonalpohualli (260 dates) et b) l’appel à leur plus petit commun multiple (18 980) pour à la fois justifier la durée 52 du SA (sans doute obtenue en divisant 18 980 par 365) et expliquer le retour cyclique des noms/dates (en calendrier divinatoire) des jours de l’année :

Le plus petit commun multiple de 260 et 365 est 18 980. Ce n’est donc que tous les 52  [= 18 980 : 365] ans qu’un jour portera de nouveau le même nom dans les deux calendriers [= date tonalpohualli et date xiuhpohualli ?] . On donne à cette période le nom de siècle mexicain [siècle aztèque, SA], appelé en nahuatl xiuhmolpilli, « ligature des années ». Un siècle de 52 ans renfermait 73 tonalpohualli, de la façon suivante : 52 x 365 = 73 x 260 = 18 980 jours. Deux siècles de 52 ans comportaient 104 ans et étaient nommés huehuetiliztli, « une vieillesse », car on pensait que tel était l’âge maximal que pouvait atteindre un homme.

Mais sans contraintes dûment explicitées sur la combinaison des 2 cycles ou calendriers, les maths invoquées ne prouvent pas les durées (ni en j ni en a) du SA, et elles ne suffisent pas à expliquer LE cycle des dates tonalpohualli – effectivement suivi, hic et nunc, chez tel peuple et à telle époque – par un jour donné de l’année (éponyme ou non).

Il faut donc retourner aux documents pour établir un état des lieux expurgé des habituels présupposés et autres projections ethnocentriques que l’on trouve dans trop d’études portant sur le calendrier aztèque ou, plus généralement, sur les calendriers mésoaméricains. Or, les données calendaires les plus sûres en dehors du classique maya  prouvent qu’un événement aztèque était enregistré en donnant deux informations : la date tonalpohualli du jour de l’événement et la date tonalpohualli du jour éponyme de l’année où cet événement eut lieu : par exemple, le Templo Mayor fut ré inauguré, à en croire le Monolithe de la dédicace, un jour 7 Acatl d’une année 8 Acatl.

La réalité du siècle aztèque ne fait donc aucun doute, mais elle ne dit pas qu’il résulte, comme le Calendrier Rituel des Mayas, de la combinaison des cycles de 260 et 365 éléments, dont le produit 260 x 365 = 94 900 = 5 x 18 980 n’est ni un siècle aztèque ni un calendrier rituel maya.

Pour obtenir un siècle aztèque (xiuhmolpilli) de 52 années (de type quelconque : festive, vague, tropique, sidérale), il suffit de les distinguer et de les définir chacune par une expression composée unique et univoque, comme cela semble avoir été le cas depuis plusieurs siècles av. J.-C. par ex. chez les Zapotèques. Quoi qu’il en soit, pour des raisons encore mal connues, certains peuples mésoaméricains ont vraisemblablement utilisé dès cette époque des jeux de 52 expressions de la forme αXPα  est un entier variant de 1 à 13 et où XP est élément d’un quarteron de signes prélevés dans l’ensemble des 20 signes X de jours. Ces expressions désignent une année par le truchement du choix d’un jour éponyme, chacune est donc un cas particulier de l’usage plus général et sans doute plus ancien des expressions de jour que l’on trouve en particulier dans la formation de nombreux anthroponymes.

Très bien attestées, les 13 x 20 expressions αX de jour (et sans doute les expressions αXP d’année) étaient en usage sur probablement toute l’étendue de la Mésoamérique, du milieu du 1er millénaire av. J.-C. jusqu’à la Conquête espagnole et à l’imposition du calendrier européen. Un jeu complexe de connotations symboliques – relevant de numérologies et de mythologies largement partagées par tous les Mésoaméricains – fait que les deux constituants de ces expressions permettaient, aux scribes sachant les lire et capable d’en maîtriser les mille significations, de prédire (à la manière des horoscopes) le destin du natif d’un jour daté αX ou ce que j’appelle la ‘couleur’ de l’année notée αXP. Les quatre signes XP sont dits « Porteurs » ou « Éponymes » de l’année[3] répondant à l’expression αXP.

Moins bien attestées, sauf dans les chroniques comme celle du codex Mendoza par exemple, les 13 x 4 expressions αXP permettaient de désigner 52 années et d’en prédire la couleur. Elles formaient un cycle récurrent (en fait, une file) divisé en 13 classes de quatre années de même numéro, ou en 4 treizaines d’années de même signe et ayant respectivement pour chef de file les éponymes, par ex. les années aztèques 1 Acatl, 1 Tecpatl, 1 Calli, et 1 Tochtli  du document colonial en annexe (xiuhmolpilli et tonalpohualli) :

Los mexicas designaban a los años usando los nombres de los días ácatl (caña), técpatl (pedernal), calli (casa) tochtli (conejo) » (Marcus;2000:18).

L’usage des expressions αXP ne prouve pas que le siècle aztèque comptait, comme le Calendrier Rituel des Mayas de l’époque classique, 18 980 jours. Il ne prouve pas non plus que l’année aztèque comptait 365 jours, ni que l’année festive de 18 mois et 1 résidu (jours funestes) faisait toujours 360 + 5 jours datés. L’usage de cette notation prouve par contre que le siècle aztèque devait compter 52 années, autant que d’étiquettes αXP.

Les listes aztèques d’expressions αX et αXP sont par ailleurs assez nombreuses pour en déduire leur ordre de succession canonique : elles se suivent selon une loi simple :

« le successeur d’un jour daté date αX (respectivement d’une année datée αXP) est daté par l’expression obtenue en incrémentant de 1 modulo 13 le rang α et en prenant le successeur de X dans le cycle des vingt signes de jour (respectivement le successeur de XP dans le cycle des quatre porteurs ou éponymes) »

C’est la même règle d’énumération qui régit les « lundi 3, mercredi 4, etc. » du calendrier européen. Ces lois d’énumération du produit des cycles ordonnés (α, X et XP), notamment celle des éponymes, ne découlent pas directement des propriétés arithmétiques des entiers 260 et 365. Plus précisément, les propriétés arithmétiques invoquées ne s’appliquent qu’après avoir constaté que la ronde des dates et la structure du SA (ou du CR des Mayas du Classique) résultent d’une convention d’énumération des éléments αX (respectivement αXP) d’un produit de cycles premiers entre eux (le cycle des 13 rangs α et celui des 20 signes X ou respectivement des 4 signes XP) ; cette convention correspond à une lecture par ligne ou par colonne des cellules d’un tableau 13 x 20 (respectivement 13 x 4) ou à un engrenage comprenant une roue de 13 α et une roue de 20 X (respectivement 4 XP).

Remarque. «Prendre le successeur de XP (dans le quarteron des Porteurs/éponymes) » est équivalent à «Incrémenter XP de 5  (dans le cycle des vingt signes de jours) ».

Mais cela ne suffit pas encore à rendre compte de la réalité des calendriers ou des pratiques calendaires. La réalité historique est simple : les Mésoaméricains n’utilisaient pas tous le même quarteron de Porteurs ou d’Éponymes, et ils pouvaient à l’occasion en changer. En d’autres termes, l’arithmétique si souvent invoquée – pour expliquer la durée entière du SA (52 ans, voire 18 980 jours) et la généralité du cycle des éponymes – ne rend pas compte de la diversité historiquement observable des calendriers.

Au mieux, l’arithmétique explique après coup la (relative) stabilité d’un siècle aztèque (calendrier annuel de 52 éléments) dès lors qu’il a été correctement installé. Ignorant le fait que l’almanach (260) peut s’appliquer de 5 façons différentes sur l’année (365) donnant un total de 94 900 jours/dates différents, un trop grand nombre de savants laissent penser qu’ils postulent que le cycle des Éponymes résulte : a) du fait arithmétique que 260 et 365 ne sont pas premiers entre eux (PGCD = 5, PPCM = 18 980), et/ou b) d’une combinaison des roues de l’engrenage postulée à tort ne pouvoir se faire que d’une seule façon.

Les arguments de ce type sont tout simplement faux. La raison en est simple : ils ne tiennent compte ni des conditions initiales, peuple par peuple et époque par époque,  ni de l’instabilité du (ou des) processus calendaire(s) consistant à dater les jours du temps qui s’impose à l’homme. L’histoire démontre d’ailleurs amplement le fait que le « bon vouloir » des princes peut à tout moment modifier ou briser le cours des calendriers, et, de ce point de vue, la Mésoamérique coloniale est un cas d’école puisqu’elle fut le théâtre à la fois de l’éradication des calendriers indigènes dans un contexte génocidaire, et du passage du calendrier julien au calendrier grégorien dans un contexte de guerre de religion entre catholiques réformateurs et protestants conservateurs. Notons ici que la question ne se pose pas de la même manière chez les Mayas du Classique : ils n’étaient pas dans le même contexte, et, d’autre part, parce que les scribes utilisaient à cette époque une année vague solaire de 365 jours et un calendrier annuel, le ha’ab, de 365 dates βY, et qu’ils contrôlaient, au jour près, toutes leurs équations calendaires grâce au système du Compte Long et à leurs tables de multiples et autres tableaux dates.

Démonstration. Soit A le jour de la cérémonie ou de l’événement (astronomique, agricole, économique, social, politique…) B d’une année festive/vague de trois cents soixante-cinq jours, 365 j, datés αX en calendrier divinatoire tonalpohualli de 260 dates. En arithmétique modulaire 365 = 0 (modulo 5), 365 = 1 (modulo 13) et 365 = 5 (modulo 20). Quelle que soit la structure de l’année, les 3 égalités modulaires ou les 3 valeurs 0, 1 et 5 rendent compte du fait que, d’année en année, la date αXBA de la fête ou événement B du jour A devient [(α+1), (XBA+5)] alors que sa date βY en calendrier de l’année vague solaire reste invariante (si et seulement si lusage de telles dates est attesté, comme c’était le cas par ex. en calendrier ha’ab maya à l’époque classique).

Sans moyen canonique de les distinguer, l’arithmétique montre aussi qu’il existe 5 classes (quarterons) également possibles de tels XBA. Cette pluralité établie par l’arithmétique modulaire répond à deux situations historiquement observables et parfaitement logiques (il n’y a aucune interdit logique qui pourrait tel jour de l’année à ne tomber que sur certains jours de la semaine : si Pâques tombe un dimanche c’est parce que les hommes d’église en ont ainsi décidé) :

1) sans contraintes sur les conditions initiales du processus de datation, le premier jour daté de l’année (jour de l’an, éponyme ou jour quelconque) peut se voir attribuer n’importe quelle date αX0 du calendrier divinatoire (il peut tomber n’importe quel jour de la ‘semaine’ divinatoire de 260 jours. Contrairement à Pâques qui ne peut tomber qu’un dimanche, nul décret ne peut obliger le Soleil à passer au Zénith seulement les jours Dimanche)

2) sans garanties sur la stabilité du processus de datation (que l’on postule toujours immuable dans le temps, comme s’il s’agissait d’une loi de la Nature, de l’arithmétique ou de la computation assistée par ordinateur), n’importe quel jour de l’année peut se voir attribuer n’importe quelle date αX0 du calendrier divinatoire ; pour le voir il suffit de se rappeler que parfois l’histoire, un roi, un pape ou un collège… change les règles du jeu (ce qui gêne tout le monde et provoque des remous dans le peuple) et, en ce qui nous concerne ici, la façon d’apparier les jours de l’année avec les dates de l’almanach ou du calendrier

Soit Xiε[0,4] une suite de 5 signes X consécutifs, alors les dates αXBA sont de la forme : αX0,5,10,15 ; αX1,6,11,16 ; αX2,7,12,17 ; αX3,8,13,18 ; ou αX4,9,14,19 (ou exclusif) formules où les indices en progression de 5 servent à désigner les 4 signes du quarteron d’une date XBA ; par exemple : si X0 = Calli, alors X5 désigne Calli + 5 = Tochtli, X10 désigne Calli + 10 = X5+5 = Tochtli + 5 = Acatl, et X15 désigne Calli + 15 = Tecpatl; et de même pour les signes X1,6,11,16, X2,7,12,17, X3,8,13,18 et X4,9,14,19.

Supposons qu’en l’an a = 0 le jour A de la fête B (ou le jour convenu éponyme de l’année, ou encore le jour de commencer les semailles ou de payer l’impôt) tombe à une date αXBA de la forme (α, X0 = Calli), alors les années suivantes le jour A devrait tomber (à condition que l’ensemble des conventions calendaires reste stable) aux dates : [(α+1), Tochtli], [(α+2), Acatl], [(α+3), Tecpatl] avec retour à Calli [(α+4), Calli]. Et si, en l’an a = 0, il tombe sur une date (α, X1 = Cuetzpalin), les années suivantes il tombera aux dates : [(α+1), Atl], [(α+2), Ocelotl], [(α+3), Quiyahuitl] et retour [(α+4), Cuetzpalin)]. Et ainsi des trois autres possibles (i.e. X2 = Cohuatl, X3 = Miquiztli, et X4 = Mazatl).

Au final, on observe que le jour A de la fête B peut tomber, selon les peuples et les époques, sur cinq jeux de dates P0, P1P2, P3, ou P4. À savoir les cinq quarterons :

P1 = { Calli, Tochtli, Acatl, Tecpatl } ; P2 = { Cuetzpalin, Atl, Ocelotl, Quiyahuitl} ; P3 = { Cohuatl, Itzcuintli, Cuauhtli, Xochitl} ; P4 = { Miquiztli, Ozomatli, Cozcacuauhtli, Cipactli} ; P0 = { Mazatl, Malinalli, Olin, Ehecatl} ;

Les 20 signes X de jour (codex Durán) et leurs noms (en yucatèque et nahuatl colonial)

CQFD.

Ce qui prouve en particulier que le cycle des Porteurs/éponymes dépend directement des façons (à préciser pour chaque peuple et époque) d’appliquer l’un sur l’autre les cycles 260 et 365 (positions relatives initiales et lois de succession) et pas seulement des propriétés arithmétiques du couple d’entiers (260, 365).

Plus précisément, sans qu’il soit nécessaire de fixer le type (vague, tropique ou sidéral) et la durée (entre 360 et 366 j) de l’année festive, l’habitus mésoaméricain de désigner les années par les expressions composées αXgénère un SA de 52 ans aussi sûrement  qu’il y a de cartes dans un jeu de 4 couleurs et 13 valeurs ; et cela suffit à expliquer la datation aztèque qui consiste à attribuer au jour de l’événement relaté une date (αX, αXP) a priori sans rapport fonctionnel avec la date (αX, βY) que le CR maya de 2.12.;13.0. jours datés par 18 980 dates lui donnait à l’époque classique.

Jusqu’à preuve du contraire, l’incrémentation journalière (+ 1 jour) du constituant αX et l’incrémentation annuelle (+ 1 an) du constituant αXP d’une date aztèque comme celle du Monolithe de la dédicace sont indépendantes l’une de l’autre, et elles suffisent à rendre compte de la datation aztèque sans faire la moindre hypothèse sur la durée ou sur la structure de l’année festive des hommes ou sur celles de l’année astronomique du Soleil, divinisé ou non.

 Références

Dehouve, D., sd, Les deux calendriers aztèques, http://www.gemeso.com/nahuatl /autres-dossiers-thematiques/calendrier-des-vingtaines/

Hernández, C., 2006, ‘The Fortunes for Maize in the Codex Borgia’, Ancient America, 8-9, pp. 1-35.

Jonghe (de), E., 1906, ‘Le Calendrier mexicain, essai de synthèse et de coordination’, Journal de la Société des Américanistes, Nouvelle Série. Tome 3 n°2, pp. 197-227. En ligne à l’adresse : http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/jsa_0037-9174_1906_num_3_2_3463

Marcus, J., 2000, ‘Los calendarios prehispánicos’, Arqueología mexicana, vol. VII, n° 41, Mexique, p. 12-19.

Annexe : xiuhmolpilli (ligature des années) et tonalpohualli (semaine divinatoire) à l’époque coloniale

Siècle aztèque de 13 x 4 années notées αXP et calendrier divinatoire de 13 x 20 jours datés αX


[1] Les plus imprudents parlent même d’année astronomique (tropique ou sidérale).

[2] Voir par ex. de Jonghe (1906) pour une étude de ces questions au début du XXe siècle.

[3] Je réserve le terme de Porteur au cas où XP est lié au 1er jour de l’année comme c’était le cas, chez les Mayas de l’époque classique, du Nouvel an daté 0 Pop (orthographe yucatèque et calendrier ha’ab). Le terme Éponyme est réservé au cas où XP est lié par une convention (souvent perdue) à un jour choisi de l’année (par ex. le vingtième et dernier jour du 4ème mois de l’année).

André

Association d'Ethnolinguistique Amérindienne Professeur d'épistémologie et histoire des sciences

More Posts - Website